小数的十进制和二进数转换 “无限不循环”小数的IEEE 754表示

十进制 -> 二进制

将整数部分和小数部分分开处理

例：3.125(10)
其整数部分为11(2)

小数部分按照下面的步骤求解：

0.125 x 2 = 0.25 取0
0.250 x 2 = 0.50 取0
0.500 x 2 = 1.00 取1

当小数部分都为0的时候结束
得到.001(2)，合并整数部分得11.001(2)

二进制 -> 十进制

十位：1 x 2¹ = 2
个位：1 x 2⁰ = 1
十分之一位：0 x 2 ^-1 = 0
百分之一位：0 x 2 ^-2 = 0
千分之一位：1 x 2 ^-3 = 0.125

全部相加得到3.125(10)

浮点数的表示法——IEEE 754标准

例

将3.14分别按照32位单精度和64位双精度表示

整数部分11(2)

32位单精度：

小数部分
01 : 0.140000 x 2 = 0.280000 取0
02 : 0.280000 x 2 = 0.560000 取0
03 : 0.560000 x 2 = 1.120000 取1
04 : 0.120000 x 2 = 0.240000 取0
05 : 0.240000 x 2 = 0.480000 取0
06 : 0.480000 x 2 = 0.960000 取0
07 : 0.960000 x 2 = 1.920000 取1
08 : 0.920000 x 2 = 1.840000 取1
09 : 0.840000 x 2 = 1.680000 取1
10 : 0.680000 x 2 = 1.360000 取1
11 : 0.360000 x 2 = 0.720000 取0
12 : 0.720000 x 2 = 1.440000 取1
13 : 0.440000 x 2 = 0.880000 取0
14 : 0.880000 x 2 = 1.760000 取1
15 : 0.760000 x 2 = 1.520000 取1
16 : 0.520000 x 2 = 1.040000 取1
17 : 0.040000 x 2 = 0.080000 取0
18 : 0.080000 x 2 = 0.160000 取0
19 : 0.160000 x 2 = 0.320000 取0
20 : 0.320000 x 2 = 0.640000 取0
21 : 0.640000 x 2 = 1.280000 取1
22 : 0.280000 x 2 = 0.560000 取0
23 : 0.560000 x 2 = 1.120000 取1
……

显然，对0.14的转换是没有尽头的，对这样“无限不循环”的小数，只需按照单精度标准，保留23位。

得
.00100011110101110000101

合并起来就是
11.00100011110101110000101

按尾数的要求转换：
1.100100011110101110000101 x 2¹

阶码E = 1 + 127 = 128，有效数字M = 1.1……01

有效数字位因为1 <= M < 2，舍去整数位的1，存储小数点后24位的值
1001 0001 1110 1011 1000 0101 （第24位0舍1入）
1001 0001 1110 1011 1000 011

最后得到32位单精度模式下3.14在计算机中的存储形式（float类型）

0	1000 0000	1001 0001 1110 1011 1000 011

64位双精度：

对0.14进行转换，按照64位双精度标准，保留52位。
得
.0010001111010111000010100011110101110000101000111101

合并得
11.0010001111010111000010100011110101110000101000111101

按照尾数要求转换：
1.10010001111010111000010100011110101110000101000111101 x 2 ¹

阶码E = 1 + 1023 = 1024，有效数字M = 1.1……01

有效数字位：因为1 <= M < 2，舍去整数位的1，存储小数点后53位的值
1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1（第53位0舍1入）
1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1111

最后得到64位双精度模式下3.14在计算机中的存储形式（double类型）

0	1000 0000 000	1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1111

总结

将十进制小数用IEEE 754表示时，若遇到诸如3.14这种“无限不循环”的小数，单精度模式下，十进制转二进制的循环进行到小数点后24位即可；双精度模式下，进行到小数点后53位即可。以“满1进位”的原则舍去多出来的第24位和第53位。