【BZOJ2432】【NOI2011】兔农（数论，矩阵快速幂）

【BZOJ2432】【NOI2011】兔农（数论，矩阵快速幂）

题面

BZOJ

题解

这题\(75\)分就是送的，我什么都不想写。

先手玩一下，发现每次每次出现\(mod\ K=1\)的数之后

把它减一，就变成了\(0\)。接着后面的数显然还是一个斐波那契数列

只是都乘了\(0\)之前的那个数作为倍数而已。

拿样例举个例子？以下数字都在模\(7\)意义下进行

1 1 2 3 5 0(1)

5 5 3 0(1)

3 3 6 2 0(1)

大概就是这样子。

当然，如果我们继续手玩下去，也许可以发现点什么？

1 1 2 3 5 0(1)

5 5 3 0(1)

3 3 6 2 0(1)

2 2 4 6 3 2 5 0

5 5 3 0(1)

似乎出现了循环？？？

那么，我们似乎可以按照找到末尾的\(0\)，找下一行的零，找到循环节这样的步骤来。

至于这个循环节的长度相关的问题，可以看看Vfk的博客。orz

考虑一下怎么计算这个\(0\)的位置？事实上是在找\(1\)的位置

而上面举例中的每一行都是一个斐波那契数列乘上\(x\)

其中\(x\)是上一行中倒数第二个数字

那么，\(fib[len]*x=1\)，而\(x\)对于我们来说是一个已知项

所以这个过程变成了一个求逆的过程。

而有根据\(vfk\)的博客，斐波那契数列在模\(K\)意义下的循环节长度不超过\(6K\)

所以我们可以暴力算一个循环节的斐波那契数列

这样子，我们的过程就变成了

找到当前行末尾的位置，对应的乘一下，得到下一行的倍数

如果下一行的开头这个数字已经被得到过，那么出现了全局的循环节，

直接暴力算就可以了。

如果发现此时逆元不存在，证明没有循环，直接矩阵快速幂即可。

否则的话继续矩阵快速幂找下一行即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1001000
inline ll read()
{
    RG ll x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
ll MOD;
void add(ll &x,ll y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
struct Matrix
{
	ll s[4][4];
	ll* operator[](int x){return s[x];}
	void clear(){memset(s,0,sizeof(s));}
	void init(){clear();s[1][1]=s[2][2]=s[3][3]=1;}
}nt,lt,ans,ret[MAX];
Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
{
	Matrix ret;ret.clear();
	for(int i=1;i<=3;++i)
		for(int j=1;j<=3;++j)
			for(int k=1;k<=3;++k)
				add(ret[i][j],1ll*a[i][k]*b[k][j]%MOD);
	return ret;
}
Matrix fpow(Matrix a,ll b)
{
	Matrix s;s.init();
	while(b){if(b&1)s=s*a;a=a*a;b>>=1;}
	return s;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll tmp=y;
	y=x-(a/b)*y;x=tmp;
}
ll f[MAX<<3],n,K,vis[MAX],inv[MAX],len[MAX];
bool book[MAX];
int main()
{
	n=read();K=read();MOD=read();
	f[1]=f[2]=1;bool fl=false;
	for(int i=3;;++i)
	{
		f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%K;
		if(!vis[f[i]])vis[f[i]]=i;
		if(f[i]==1&&f[i-1]==1)break;
	}
	nt[1][2]=nt[2][1]=nt[2][2]=nt[3][3]=1;
	lt.init();lt[3][2]=-1;
	ans[1][1]=ans[1][3]=1;
	for(ll t=1;n;)
	{
		if(!inv[t])
		{
			if(__gcd(t,K)!=1)inv[t]=-1;
			else
			{
				ll x,y;exgcd(t,K,x,y);
				inv[t]=(x+K)%K;
			}
		}
		if(inv[t]==-1){ans=ans*fpow(nt,n);break;}
		if(!book[t]||fl)
		{
			book[t]=true;
			if(!vis[inv[t]]){ans=ans*fpow(nt,n);break;}
			len[t]=vis[inv[t]];
			if(n>=len[t])
			{
				n-=len[t];
				ret[t]=fpow(nt,len[t])*lt;
				ans=ans*ret[t];
				t=t*f[len[t]-1]%K;
			}
			else{ans=ans*fpow(nt,n);break;}
		}
		else
		{
			Matrix now;ll cnt=0;now.init();
			for(ll i=t*f[len[t]-1]%K;i!=t;i=i*f[len[i]-1]%K)
				now=now*ret[i],cnt+=len[i];
			now=ret[t]*now;cnt+=len[t];
			ans=ans*fpow(now,n/cnt);
			n%=cnt;fl=true;
		}
	}
	printf("%lld\n",(ans[1][2]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}