2019.10.28 CSP%您赛第四场t3

我写不动前两个了。

原谅一下。

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【题目描述】

\(\varphi\)函数是数论中非常常用的函数。对于正整数 x，\(\varphi\)(x) 表示不超过 x 的所有正整数

与 x 互质的个数。

现在我们对它进行一次拓展：对于正整数 x,y，定义 \(\varphi\)(x,y) 表示不超过 y 的所有正

整数与 x 互质的个数。

现在我们给定正整数 n 和 m，对于所有不超过 n 的正整数 i，求 \(\varphi\)(i,m)。

【输入格式】

从文件 phi.in 中读入数据。

输入仅一行两个正整数 n 和 m。

【输出格式】

输出到文件 phi.out 中。

输出 n 行，每行一个整数。第 i 行表示 \(\varphi\)(i,m)。

【样例输入】

11 10

【样例输出】

10

5

7

5

8

3

9

5

7

4

10

以上题面。

顺便补一句，以上算法可接受的复杂度是\(O(n\sqrt n)\)。

容易知道，我们枚举所有\(i\leq n\)时，时间复杂度是\(O(n)\)。所以对于每个数的判断，我们可接受的复杂度大约是\(O(\sqrt n)\)。

考虑原来做过的题类似的做法。对于一个数\(i\)，与这个数互质的数的本质实际上是不存在与\(i\)相同的质因子。所以对于每个\(i\)，我们用\(O(\sqrt n)\)的复杂度求出其所有质因子作为预处理；

而对于每一个求出的质因子，任何含有该质因子的数都不能贡献到答案上。但是由于存在同时具有好几个该数质因子的情况，考虑容斥原理：

举个例子，如果一个数有3个质因子，设其为\(a_1,a_2,a_3\)，则\(ans=m-m/a1-m/a2-m/a3+m/a1/a2+m/a2/a3+m/a1/a3-m/a1/a2/a3\)。其中\(m\)是最大取值个数。

同理，设一个数有k个质因子，则容易知道：

\(ans=m-m/（所有奇数个a_k相乘的可能）+m/（所有偶数个a_k）相乘的可能\)。

容易证明。当我们减去所有含有单个质因子的数时，我们多减去了所有严格含有两个质因子的数；再加上严格含有两个质因子的数，又多加了严格含有三个质因子的数；……以此类推，其实是\(k\)阶维恩图上的容斥原理。

所以我们可以用一个二进制数的每一位代表该质因子是否被选中。若选中了偶数个质因子，则加上；否则减去。

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define dep(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define int long long
using namespace std;
int n,m,prime[100050],idx,ans,book_prime[100050],idx1;
bool is_prime[100050],book[100050],mark[100050];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
signed main()
{
	memset(prime,-1,sizeof prime);
	n=read(),m=read();
	rep(i,1,n)
	{
		memset(book,0,sizeof book);
		memset(mark,0,sizeof mark);
		ans=m;
		idx1=0;
		int temp=i;
		int qqqqqq=sqrt(i);
		rep(j,2,qqqqqq)
		{
			if(temp%j==0)
			{
				book_prime[++idx1]=j;
				while(temp%j==0)
				    temp/=j;
			}
		}
		if(temp>1)
			book_prime[++idx1]=temp;
		int maxn=(1<<idx1)-1;
		rep(j,1,maxn)
		{
			int cnt=0;
			int tmp=j;
			int base=1;
			int mul=1;
			while(tmp)
			{
				if(tmp&1)
				    ++cnt,mul*=book_prime[base];
				++base;
				tmp>>=1;
			}
			if(cnt&1)ans-=m/mul;
			else ans+=m/mul;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}