2018牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）F:Sum of Maximum

题意：给定N个数a[]，现在用a形成一个新的数组b[]，1<=b[i]<=a[i]。 问所有的方案的最大值之和。

思路：先排序。然后分段统计贡献，假设a[i-1]<a[i]，那么[a[i-1]+1,a[i]]的贡献就是左边的所有方案*右边的合法方案，合法即是最大值这个区间内。

假设max=x，那么右边的贡献是x*(x^(n-i+1)-(x-1)*(n-i+1));  所有的x加起来，发现是个前缀和，=x^(n-i+2)+(x-1)^(n-i+1)+...^(n-i+1)；最右边部分可以用拉格朗日求出。

所有就完了。 但是我的板子好像有点慢。

（毕竟我多加了一个log，明天来修改一下。今天还有几个题要补。

（实则是在准备板子。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
const int Mod=1e9+;
const int mod=1e9+;
int a[maxn],sum[maxn],ans;
ll f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
ll P(ll a,ll b)
{
    ll ans=;
    while(b) {
        if(b&) ans=ans*a%mod;
        b>>=; a=a*a%mod;
    }
    if(ans<) ans+=mod;
    return ans;
}
void init(int tot)
{
    fac[]=;
    for(int i=;i<=tot;i++)
        fac[i]=fac[i-]*i%mod;
    inv[tot]=P(fac[tot],mod-);
    inv[]=; //求阶乘逆元
    for(int i=tot-;i>=;i--)
        inv[i]=inv[i+]*(i+)%mod;
}
ll Lagrange(ll n,ll k)
{
    rep(i,,k+) f[i]=(f[i-]+P(i,k-))%mod;
    if(n<=k+) return f[n];
    int tot=k+; init(tot);
    ll ans=,now=;
    for(int i=;i<=tot;i++) now=now*(n-i)%mod;
    for(int i=;i<=tot;i++) {
        ll inv1=P(n-i,mod-);
        ll inv2=inv[i-]*inv[tot-i]%mod;
        if((tot-i)&) inv2=mod-inv2;
        ll temp=now*inv1%mod;
        temp=temp*f[i]%mod*inv2%mod;
        ans+=temp;
        if(ans>=mod) ans-=mod;
    }
    return ans;
}
int solve(int x,int k)
{
    if(!x) return ;
    return P(x,k+)-Lagrange(x-,k+);
}
int main()
{
    int N;
    while(~scanf("%d",&N)){
        rep(i,,N) scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+,a+N+); ans=; sum[]=;
        rep(i,,N) sum[i]=1LL*sum[i-]*a[i]%Mod;
        rep(i,,N) {
            if(a[i]==a[i-]) continue;
            int res=(solve(a[i],N-i+)-solve(a[i-],N-i+)+Mod)%Mod;
            (ans+=1LL*sum[i-]*res%Mod)%=Mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}