noi.ac #45 计数

\(des\)

给定 \(n\) 的全排列 + 一个值域属于 \([1, n]\) 的元素构成长度为 \(n + 1\) 的序列

问长度为 \(i\) 的本质不同的子序列的个数

\(sol\)

小学计数题

记 \(p + 1, q - 1\) 的元素相同

从起点到第一个相同元素长度 \(p\)

从终点到第二个相同元素长度 \(q\)

对于长度为 \(i\) 的本质不同的子序列的个数

可以用全部的答案 - 出现重复的个数

显然全部的答案 \(n + 1 \choose i\)

对于重复的答案，只存在于重复的元素存在于挑选的元素中的时候

这样的话，挑选的元素只剩下 \(i - 1\) 个

枚举在 \([1, p]\) 中挑选 \(x\) 个，在 \([q, n + 1]\) 中挑选 \(i - 1 - x\) 个统计答案

。。。

这样枚举的就非常zz啊

重复的方案数显然就是 $ q + p \choose i - 1$

时间复杂度 \(O(nlogmod)\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, Mod = 1e9 + 7;

#define gc getchar()

inline int read() {int x = 0; char c = gc;while(c < '0' || c > '9') c = gc;
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = gc; return x;}

#define LL long long
#define Rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)

LL fac[N] = {1};
bool vis[N];
LL n, a[N];
LL q, p;

LL Ksm(LL a, LL b) {
	LL ret = 1;
	while(b) {if(b & 1) ret = ret * a % Mod; a = a * a % Mod; b >>= 1;}
	return ret;
}

LL C(LL n_, LL m) {
	if(n_ < m || m == 0) return 0;
	return (fac[n_] * Ksm(((fac[m] * fac[n_ - m]) % Mod), Mod - 2)) % Mod;
}

int main() {
	n = read();
	Rep(i, 1, n + 1) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % Mod;
	Rep(i, 1, n + 1) {
	    a[i] = read();
		if(vis[a[i]]) {
			p = n + 1 - i;
			Rep(j, 1, i) if(a[j] == a[i]) {q = j - 1; break;}
			break;
		}
		vis[a[i]] = 1;
	}
	Rep(i, 1, n + 1) {
		LL a = C(n + 1, i), b = C(q + p, i - 1);
		LL Answer;
		if(i == 1) Answer = a - b - 1;
		else Answer = a - b;
		if(Answer < 0) Answer += Mod;
		cout << Answer << "\n";
	}
	return 0;
}