POJ 1737 经典DP

问题：求含有n个点的连通图的个数。

解：

　　考虑DP，$f(n)$表示n个点，每个点都和点1相连，且n个点互相连通的图的个数。

　　（蓝字非常重要，这个条件有效地避免了重复计算）

　　　　　　 $g(n)$表示n个点，每个点都和点1相连，且不是n个点互相连通的图的个数。

　　　　　　 $S(n)$表示n个点的图的个数。

显然，有：$f(n) = S(n)-g(n)$

　　　　　$S(n) = 2^{n(n-1)/2}$

而且有（关键）：$g(n) = \sum_{i=1}^{n-1}{C_{n-1}^{i-1} * f(i) * S(n-i)}$

　　从除了1之外的n-1个点中选出i-1个点，让这i个点互相连通，而剩下的n-i个点和这i个点没有边相连，互相之间随意连接。

当然，博主并不想写高精度

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>

 #define LL long long
 #define N 61

 using namespace std;

 LL f[N],g[N];
 LL C[N][N];
 const int n=;

 LL S(int x){
     if(x==) return ;
     return (1LL<<( (x*(x-)) /));
 }

 int main(){
     f[]=; g[]=;
     C[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         C[i][]=;
         for(int j=;j<=i;j++)
             C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j];
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
         g[i]=;
         for(int j=;j<i;j++)
             g[i] = g[i] + (C[i-][j-]*f[j]*S(i-j));
         f[i]=S(i)-g[i];
     }
     int x;
     while(cin>>x,x) cout<<f[x]<<endl;
     return ;
 }

接下来是多校联盟中有关于本题的拓展：

问题：求左侧n个点，右侧m个点的联通二分图个数

解：参照上面的解法。

　　$f(i,j)$表示左面i个点右面j个点，每个点都和左面的点1相连，且n个点互相连通的图的个数。

　　$g(i,j)$表示左面i个点右面j个点，每个点都和左面的点1相连，且n个点不是互相连通的图的个数。

　　$S(i,j)$定义类比上面。

和上面一样的，有：

$f(n,m)=S(n,m)-g(n,m)$

$S(n,m)=2^{nm}$

$g(n,m)=\sum_{r=1}^{n-1}{ \sum_{s=1}^{m-1}{ C_{n-1}^{r-1}*C_{m}^{s}*f(r,s)*S(n-r,m-s)    } }$