2016 Multi-University Training Contest 5 solutions BY ZSTU

ATM Mechine

E(i,j):存款的范围是[0,i],还可以被警告j次的期望值。

E(i,j) = \(max_{k=1}^{i}{\frac{i-k+1}{i+1} * E(i-k,j)+\frac{k}{i+1}*E(k-1,j-1)+1}\)
这样时间复杂度是\(O(K^2W)\)的。
假如Alice使用的是二分策略，那么在最坏情况下至多被警告\(\left \lceil log_{2}{K} \right \rceil\) 次。
于是W:=min(W,15)就可以了。

然后clar有人问y是不是要整数。由于存款是整数，你取小数的钱没有任何意义啊。

Cycle:

首先A、B两个串循环相同的话，那么A串可以拆成一个前缀和一个后缀，交换下位置就得到了B串。设bs[i]表示所有的k满足子串B[k...k+i]和子串A[0...i]相同，用bitset来存，然后再枚举下后缀的起始位置，利用bitset的位操作可解。复杂度\(O(n^2/64)\)

Divide the Sequence

把长度为n的序列分成尽量多的连续段，使得每一段的每个前缀和都不小于0。保证有解。
从后往前贪心分段即可。

How Many Triangles

数一数锐角的数量A和直角+钝角的数量B，那么答案就是(A-2B)/3。
暴力算的话是\(O(n^3)\)的。使用极角排序+two pointers就可以做到\(O(n^2log\ n)\)。

这边钝角指代范围在90度到180度之间的角(不包括90和180)。

Interesting:

用manacher算法O(n)求出所有的回文半径。有了回文半径后，就可以求出cntL[i]表示以i结尾的回文串的起始位置的和cntR[i]表示以i起始的回文串的结尾位置的和，然后就可以求出答案了，这里要注意奇偶长度回文串的不同处理。复杂度O(n)

Interval:

首先考虑区间覆盖几个(大于1个)序列的，设ans[i]表示区间gcd为i的倍数的区间数，那么除了两端的序列，中间的所有序列的gcd都为i的倍数，于是搞出每个序列的gcd和所有的前缀gcd和后缀gcd，对于ans[i]就可以利用所有的前缀gcd和后缀gcd和完整序列gcd来求，需要好好处理细节。复杂度为O(n*(最大因子个数))。
然后考虑区间在一个序列中的，由于对于每个位置结尾的不同gcd数最多是log个，所以\(O(n\ log\ n\ log\ n)\)可以解决。

K-wolf Number

数位dp，状态里一下前K-1个数位上的数字即可。标程是std::map<std::vector,long long>这样记的状态。

Level Up

当第i个人的能力值从A_i变成100000时，会导致他在树上的祖先中原本中位数不小于A_i的部分发生变化，从\(\left \lceil \frac{t}{2} \right \rceil\ th\) 变成\((\left \lceil \frac{t}{2} \right \rceil + 1)\ th\)。所以如果知道每个节点的这两个值，就可以dfs一遍用树状数组求出答案了。
考虑如何求\(\left \lceil \frac{t}{2} \right \rceil th\) 和\((\left \lceil \frac{t}{2} \right \rceil + 1) th\)。
一种做法是使用CCPC-WFinal 1008的线段树方法，为每个节点维护一棵权值线段树，然后合并两棵线段树时，如果一棵是空的，就返回另一棵，否则递归合并。然后就是求线段树第K大这样的经典问题了。这个做法时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(nlogn)。
另一个做法是每个节点维护两个堆，第一个堆放前一半元素，其他放在第二堆里。然后合并堆时使用启发式合并的策略即可。这样时间\(O(nlog\ n^2)\)，空间O(n)。
然而实测第二个做法跑得比第一个快。

Permutation:

首先求出dp[i][j][k]表示i子树中j在第k个位置的合法排列情况数，然后对于某一个u子树，枚举下u子树下的两个不同子树的v1,p1,v2,p2，表示v1结点在第一个排列第p1个位置，v2结点在第p2位置，再枚举下v1结点插入到v2排列的第k个位置，这样子的复杂度是\(O(n^5)\)。由于v1和v2有大小关系，可以处理出前缀和的东西来优化下，可以达到\(O(n^4)\)的复杂度。实际上努力下好像也可以达到\(O(n^3)\)的复杂度，但这题只要求\(O(n^4)\)。

Prefix:

将字符串一个个的插入字典序，在字典序中维护好有该前缀串的最大编号字符串，用一个线段树维护好，每个字符串控制了多少个前缀串，由于询问是在线的，所以用主席树来维护。于是对一个询问(l,r)，在第r个线段树求一下区间(l,r)的和即为答案。复杂度\(O(n\ log\ n)\)

Two:

水题。dp[i][j]表示A序列前i个数和B序列前j个数的相同子序列对有多少个。复杂度\(O(n^2)\)

World is Exploding

给一个长度n的序列A，问有多少四元组(a,b,c,d)满足：4个数两两不同，1 <= a < b <= n，1 <= c < d <= n，A_a < A_b，A_c > A_d。
定义：
\(rg(x) = \left | \{ y | x < y <= n, A_x < A_y \} \right |\)
\(lg(x) = \left | \{ y | 1 <= y < x, A_x < A_y \} \right |\)
\(rs(x) = \left | \{ y | x < y <= n, A_x > A_y \} \right |\)
\(ls(x) = \left | \{ y | 1 <= y < x, A_x > A_y \} \right |\)
\(allg = \sum_{i=1}^{n}{rs(i)}\)
以上都可以通过树状数组在\(O(n\ log\ n)\)的时间内求出(需要先对A序列进行离散化处理)。
然后，
\(answer = \sum_{a=1}^{n}{rg(a) * (allg - lg(a) - rs(a))} - \sum_{b=1}^{n}{ls(b) * (lg(b) + rs(b)}\)