洛谷 [P1290] 欧几里得的游戏

SG函数的应用

看到这题就想到了SG函数

那么可以考虑最终情况：一个数是x，另一个是0，那么先手必败（因为上一个人已经得到0了，其实游戏已经结束了）

剩下的情况：一个数n， 一个数m，假设n>m

那么根据题意，SG(n,m)=mex{SG(n - m, m), SG(n - 2m, m), ......, SG(m, n%m)（此处交换了顺序，因为 m>n%m ）}

考虑里面的SG怎么求。

可以发现，SG(n-m, m)=mex{SG(n-2m, m), SG(n-3m, m)........SG(m, n%m)}

SG(n- 2m, m)同理

所以除了SG(m, n%m)以外的SG都可以由SG（m, n%m）得来

假设SG(m, n%m)0，设n/m=k， SG(n-(k-1)*m,m)mex{SG(m, n%m)}=1

从此往上一直到SG(n, m)的值为2,3,4,5...，即一直必胜，简单记为1

如果SG（m, n%m）1， 那么 SG(n-(k-1)*m,m)mex{SG(m, n%m)}=0

剩下的依旧为2,3,4,5,6...，也可记为1

那么可以看出，如果n/m==1，SG(n, m)=！SG(m, n%m)，不然是1

这是一个标准的辗转相除的一个递推式，用GCD的写法即可实现

归纳一下用SG函数解决博弈问题的一般步骤：

1. 找到终止状态
2. 找出任意一个状态，并把它的SG的值用它的后继表示
3. 化简SG之间的关系，递归求解

直观的理解一下本题

首先题目的描述让我们感觉本题与GCD肯定有某些联系

我们发现如果在一个人的手里, \(a > 2b\) 那么这个人必胜，因为他可以选择是在自己进入下一步，还是对手进入下一步

所以第一个出现这个情况的人必胜，如果始终都没有这种情况，就GCD计数

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int init() {
	int rv = 0, fh = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') fh = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		rv = (rv<<1) + (rv<<3) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return fh * rv;
}
int n, a, b;
bool SG(int a, int b) {
	if(!b) return 0;
	if(a / b == 1) return !SG(b, a % b);
	return 1;
}
int main() {
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	n = init();
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		a = init(); b = init();
		if(SG(max(a, b), min(a, b))) {
			printf("Stan wins\n");
		}else printf("Ollie wins\n");
	}
	fclose(stdin);
	return 0;
}