@atcoder - AGC035D@ Add and Remove

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@description@

给定 N 张排成一行的卡片，第 i 张卡片上面写着 Ai。

重复以下操作，直到只剩下两张卡片。

取出卡片 i，将卡片 i 左边的卡片与卡片 i 右边的卡片的 A 加上 Ai。

求最后剩下的两张卡片的 A 的可能的最小和。

Constraints

2≤N≤18, 0≤Ai≤10^9(1≤i≤N)

Input

输入格式如下：

N

A1 A2 ... AN

Output

输出最小和。

Sample Input 1

4

3 1 4 2

Sample Output 1

16

先选 1 得到 4 5 2，再选此时的 5 得到 9 7，最小和 9 + 7 = 16。

@solution@

考虑最朴素的暴力：枚举排列，表示卡片被取走的顺序，然后算贡献。

显然不够优秀。

注意到对于按序排放的卡片 a b c，假如 b 不被取走，则 a, c 之间取的顺序并不重要。

这意味着我们重复枚举了很多结果一样的状态。

一个 Ai 贡献次数 = 左边第一个比它后取走的卡片贡献次数 + 右边第一个比它后取走的卡片贡献次数。我们总是认为第 1 张卡片与第 N 张卡片是最后取走的，且贡献次数为 1。

考虑一种基于笛卡尔树的贡献计算方法：

从根开始向下递归，同时维护该子树 左边第一个比它后取走的卡片贡献次数 与 右边第一个比它后取走的卡片贡献次数。那么就可以算出每个结点的贡献次数。

那么我在搜索的时候可以一边枚举笛卡尔树的形态一边计算贡献。

这样总搜索量 = 16 个点组成的二叉树数量 = 第 16 个卡特兰数 = 35357670。可以通过该题目。

当然你可以用记忆化搜索。不过没有必要，而且 map 常数大，hash 反而麻烦了。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 20;
const ll INF = (1LL<<60);
int N; ll A[MAXN + 5];
ll dfs(int l, int r, int cntl, int cntr) {
	if( l + 1 == r ) return 0;
	ll ret = dfs(l, l+1, cntl, cntl+cntr) + dfs(l+1, r, cntl+cntr, cntr) + (cntl+cntr)*A[l+1];
	for(int i=l+2;i<=r-1;i++)
		ret = min(ret, dfs(l, i, cntl, cntl+cntr) + dfs(i, r, cntl+cntr, cntr) + (cntl+cntr)*A[i]);
	return ret;
}
int main() {
	scanf("%d", &N);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		scanf("%lld", &A[i]);
	printf("%lld\n", dfs(1, N, 1, 1) + A[1] + A[N]);
}

@details@

我连暴搜都不会了.jpg。

感觉用笛卡尔树理解起来更为直观，而且也更容易证明复杂度。