Rainbow的信号

Rainbow的信号

有一串长度为n的数列，现在从中等概率选出l，r，如果l大于r，则交换，有三个询问

1. l~r间的数与和的数学期望
2. l~r间的数或和的数学期望
3. l~r间的数异或和的数学期望

对于100%的数据，1<=n<=100000，n个自然数均不超过10^9。

解

注意到lr，概率为\(1/n^2\),其外概率均为\(2/n^2\),考虑到有固定的概率，考虑公式法，对于lr显然可以暴力做,现在问题在于如何快速求出区间的二进制运算和，注意到二进制不进位的特点，考虑二进制拆分，于是对于所有数的单独的每一二进制位讨论，接着考虑如何维护区间二进制运算。

对于l!=r，于是枚举右端点r，再考虑左端点的情况，记录\(last[x]\)表示当前r左边第一个出现x的位置，显然可以维护,当前二进制位为第k位，数列为a，对于询问

与运算

1. a[r]==0:

\[ans+=0
\]

1. a[r]==1:

\[ans+=(r-1-last[0])\times 2^k\times \frac{2}{n^2}
\]

或运算

1. a[r]==0:

\[ans+=last[1]\times 2^k\times \frac{2}{n^2}
\]

1. a[r]==1:

\[ans+=(r-1)\times 2^k \times \frac{2}{n^2}
\]

异或运算

注意到异或类似与奇偶的性质，于是设c1,c2分别为从r向右数的以1开头的奇数段，偶数段的长度，举个例子

00001 0001 000

00001 0001 0001

例子中标黑色的段为奇数段，其余为偶数段，r为最后一个数字

于是我们有

1. a[r]==0:

\[ans+=c1\times 2^k\times \frac{2}{n^2},++c2
\]

1. a[r]==1:

\[ans+=c2\times 2^k\times \frac{2}{n^2},wap(c1,c2),++c1
\]

不难得知时间复杂度应为\(O(nlog(n))\)

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define lb long double
#define swap(x,y) x^=y^=x^=y
using namespace std;
lb ans1,ans2,ans3,n1,n2;
int num[100001],last[2],c1,c2;
il void read(int&);
int main(){
    int n,i,j,sxr;read(n),n2=2/((lb)n*n),n1=n2/2;
    for(i=1;i<=n;++i)read(num[i]);
    for(i=0,sxr=1;i<31;++i,sxr<<=1)
        for(j=1,last[0]=last[1]=c1=c2=0;j<=n;num[j]>>=1,++j)
            if(num[j]&1)ans1+=c2*n2*sxr+n1*sxr,ans2+=(j-1-last[0])*n2*sxr+n1*sxr,
                               ans3+=(j-1)*n2*sxr+n1*sxr,last[1]=j,swap(c1,c2),++c1;
            else ans1+=c1*n2*sxr,ans3+=last[1]*n2*sxr,last[0]=j,++c2;
    printf("%.3Lf %.3Lf %.3Lf",ans1,ans2,ans3);
    return 0;
}
il void read(int &x){
    x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}