洛谷$P3647\ [APIO2014]$连珠线 换根$dp$

正解:换根$dp$

解题报告:

传送门!

谁能想到$9102$年了$gql$居然还没写过换根$dp$呢,,,$/kel$

考虑固定了从哪个点开始之后,以这个点作为根,蓝线只可能是直上直下的,形如"父-子-孙"这样的.

所以先考虑一个$O(n^2)$的做法,就枚举根节点,然后跑个$dfs$,设$f_{i,1}$表示点$i$是蓝线上"子"的最大答案,$f_{i,0}$表示点$i$不是蓝线上"zi"的最大答案

然后对于$f_{i,0}$,它不是"子"有两种可能,要么就子节点是"子",就会是$f_{j,1}+w$,要么就连接的不是蓝线,此时$j$也不可能是"zi"了,就会是$f_{j,0}$

然后对于$f_{i,1}$.考虑枚举哪个子节点是"孙".其他儿子和$f_{i,0}$的转移是一样的,只有点$j$的贡献从$max\{f_{j,1}+w,f_{j,0}\}$成了$f_{j,0}+w$

所以转移就

$f_{i,0}=\sum max\{f_{j,1}+w,f_{j,0}\}$

$f_{i,1}=max\{f_{i,0}-max\{f_{j,1}+w,f_{j,0}\}+f_{j,0}+w\}$

发现复杂度很假,考虑优化.

发现如果移动根对大部分节点无影响,所以考虑换根$dp$.

现在考虑把某个节点的儿子变成了父亲有什么影响$QwQ$?

首先这个子节点的贡献没了,所以$max$可能会改变,所以要记录一个次大值.同时原来的父亲变成了儿子对当前父亲产生了贡献.

考虑在第一次$dp$的时候再记录一个$g_{i,j,0/1}$表示点$i$的子树中不考虑$j$的情况下的$f_{i,0/1}$.

$g_{i,j,0}$就直接减去$max\{f_{j,1}+w,f_{j,0}\}$就成.

然后$g_{i,j,1}$就顺便维护一个次大值,如果等于最大值就赋值为次大值,否则对最大值没有影响就依然赋值为最大值就好(同样要把$max\{f_{j,1}+w,f_{j,0}\}$的贡献删去鸭$QwQ$

$code$