Wannafly Camp 2020 Day 1C 染色图 - 组合数学,整除分块

定义一张无向图 G=⟨V,E⟩ 是 k 可染色的当且仅当存在函数 f:V↦{1,2,⋯,k} 满足对于 G 中的任何一条边 (u,v)，都有 f(u)≠f(v)。

定义函数 g(n,k) 的值为所有包含 n 个点的无自环、无重边的 k 可染色无向图中的边数最大值。举例来说，g(3,1)=0,g(3,2)=2,g(3,3)=3。

现在给出三个整数 n,l,r，你需要求解：(\sum_{i=l}^rg(n,i))mod998244354

Solution

把 \(n\) 个点分成 \(m\) 份，尽可能均分，方案是显然的。每一份之间不连边，不同份之间都连上，边数相当于一个大完全图减去一堆小完全图，推出单个后考虑求和，整除分块即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int mod = 998244353;

int M(int x) {
    return (x%mod+mod)%mod;
}

int calc(int n,int m,int s) {
    int l=s,r,ans=0;
    while(l<=m) {
        r=n/l?min(n/(n/l),m):m;
        ans+=M(M(n*(n-1)/2)*(r-l+1));
        ans-=M(M(n*(n/l))*(r-l+1));
        ans+=M(M((n/l)*(n/l+1)/2)*M((r-l+1)*(l+r)/2));
        ans=M(ans);
        l=r+1;
    }
    return ans;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T,n,l,r,ans;
    cin>>T;
    while(T--) {
        cin>>n>>l>>r;
        ans=0;
        cout<<calc(n,r,l)<<endl;
    }
}