noip2006提高组题解

第一题：能量项链

区间型动态规划

据说这题在当年坑了很多人。

f(i, j) 表示从第i个珠子开始合并j个珠子所释放的最大能量。

f(i, j) = max{ f(i, k} + f(i+k, j-k) + head(i) * head(i+k) * head(i+j) , 0<k<j}

边界条件：f(i, 1) = 0

第二题：金明的预算方案

背包型动态规划

01背包的加强版，对于每个主件有五种选择方式：不购买主件、购买主件、购买主件和附件1、购买主件和附件2、购买主件和附件1和2。

一个显著的时空优化：将物品的价格除以10.

第三题：作业调度方案

模拟

据说原来是一道搜索题，但是为了平衡整卷难度所以简化了许多。不难，仔细就好。

第四题：2^k进制数

递推、高精度

首先想到的递推式：用 f(i, j) 表示以数字 i 开头且有 j 位的数字个数，则

f(i, j) = sum{ f(i+1, j-1), f(i+2, j-1), ... }

那么最终答案也是将某些 f 值相加。

既然我们在状态转移和求最终结果时要的都是和，不妨直接在 f 中保存之前状态的和。

所以我们可以用 f(i, j) 表示第一位不小于 i 且有 j 位的数字个数，则

f(i, j) = f(i+1, j)+f(i+1, j-1)

解释一下，第一位不小于 i 有两种情况：

1. 第一位等于 i，那么第二位至少是 i+1，即 f(i+1, j-1)

2. 第一位大于 i，即第一位大于等于 i+1，即 f(i+1, j)。

那么最终答案的求解可以分类讨论：

• 若 k | w，则答案等于 sum{ f(1, min(w/k-i, 2^k-1-i)), i∈[0, min(2^k-1, w/k)) }

解释：如果 w 能整除 k，那么枚举长度。我们知道 2^k-1 是 2^k 进制数一位上能达到的最大值，也是一个（无其他限制情况下）递增的 2^k进制数的最大位数。所以 min(w/k, 2^k-1) 就是当前情况下所能达到的最大位数。

• 若 w mod k > 0，先做完上面的步骤，然后单独统计多出来的「不完整的」一位。在这种情况下，如果存在位数为 w div k + 1 的情况，第一位可以并不能取遍 1~2^k-1，而只能取 1~2^(w mod k)-1. 将这些值累加即可。

并不是对于所有的情况都要判断该情况是否可能出现，因为有些不可能的情况的 f 值并没有计算过，是等于 0 的。比如当 k=2, w=6 时，f(1, 3) 很明显是等于 0 的，所以即使将其累加也不影响最终结果。