懒人的福利?教你用set维护斜率优化凸包

斜率优化题目大家肯定都做得不少了，有一些题目查询插入点的x坐标和查询斜率都不单调，这样就需要维护动态凸包并二分斜率。(例如bzoj1492)

常规的做法是cdq分治或手写平衡树维护凸包，然而如果我不愿意写分治，也懒得打平衡树，怎么办呢？

没关系，今天我告诉你怎么用一个set维护这种凸包。

首先orzLH，没什么特殊意义，只是单纯的orz。

我们定义f[i]表示在第i天能拥有的金券组数，按照第i天的比例。

那么，我们要把前面的金券在今天卖出获得最多的钱，并在今天进行买入。

所以，f[i]=max((f[j]*a[i]+f[j]/rate[j]*b[i])/(a[i]+rate[i]*b[i]))。

除下去的东西是一个常数，扔掉。

然后我们就有:

t=max(a[i]*(f[j])+b[i]*(f[j]/rate[j]))。

如果我们把f[j]看做x，f[j]/rate[j]看做y，我们有:

t=a*x+b*y，两边同时除以b，得到:

t/b=(a/b)x+y

y=(t/b)-(a/b)*x

好的，现在我们有一条斜率为-(a/b)的直线，要找一个点使之截距最大。

这样我们维护一个右上1/4凸壳即可。

怎么维护?

我们考虑不用斜率优化，单纯水平序维护凸包，那么点是按照x坐标单增在平衡树上排列的。

现在我们在每个点维护他与后面点连线斜率，我们会发现:这个斜率是单降的。

所以，我们可以通过适当地转换cmp函数，来通过一个set完成两种比较。

我们定义:

 int cmp; // 0 compare x , 1 compare slope .
 struct Point {
     double x,y,slop;
     friend bool operator < (const Point &a,const Point &b) {
         if( !cmp ) return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y;
         return a.slop > b.slop;
     }
     friend Point operator - (const Point &a,const Point &b) {
         return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};
     }
     friend double operator * (const Point &a,const Point &b) {
         return a.x * b.y - b.x * a.y;
     }
     inline double calc(double a,double b) const {
         return a * x + b * y;
     }
 };
 set<Point> st;

插入就是正常凸包插入，最后再维护一下斜率就行了。注意弹出左边后迭代器会失效，所以需要重新lower_bound一下。(可能原来你的迭代器是原来的end，结果弹出左边后end改变了，两个end不同，然后你去弹出右边，访问无效迭代器，就直接RE了)

 inline void Pop_right(set<Point>::iterator nxt,const Point &p) {
     set<Point>::iterator lst;
     while() {
         lst = nxt , ++nxt;
         if( nxt == st.end() ) return;
         if( (*lst-p) * (*nxt-*lst) <=  ) return;
         st.erase(lst);
     }
 }
 inline void Pop_left(set<Point>::iterator prv,const Point &p) {
     set<Point>::iterator lst;
     while(prv!=st.begin()) {
         lst = prv , --prv;
         if( (*lst-*prv) * (p-*lst) <=  ) break;
         st.erase(lst);
     }
 }
 inline void insert(const Point &p) {
     cmp = ;
     set<Point>::iterator prv,nxt,lst=st.lower_bound(p);
     if(lst!=st.begin()) Pop_left(--lst,p);
     lst=st.lower_bound(p);
     if(lst!=st.end()) Pop_right(lst,p);
     st.insert(p) , lst = st.find(p);
     if(lst!=st.begin()) {
         prv = lst , --prv;
         Point x = *prv;
         x.slop = ( p.y - x.y ) / ( p.x - x.x );
         st.erase(prv) , st.insert(x);
     }
     nxt = lst , ++nxt;
     if(nxt!=st.end()) {
         Point x = p , n = *nxt;
         x.slop = ( n.y - x.y ) / ( n.x - x.x );
         st.erase(lst) , st.insert(x);
     } else {
         Point x = p;
         x.slop = -1e18;
         st.erase(lst) , st.insert(x);
     }
 }

查询的话就更改一下比较函数，然后特判一下边界防止RE就好。

 inline double query(const int id) {
     cmp = ;
     const double k = -a[id] / b[id];
     set<Point>::iterator it = st.lower_bound((Point){,,k}); // it can't be st.end() if st isn't empty .
     if( it==st.end() ) return ;
     double ret = it->calc(a[id],b[id]);
     if( it != st.begin() ) {
         --it;
         ret = max( ret , it->calc(a[id],b[id]) );
     }
     return ret;
 }

所以整体代码:

Bzoj1492:

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<set>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=1e5+1e2;

 int cmp; // 0 compare x , 1 compare slope .
 struct Point {
     double x,y,slop;
     friend bool operator < (const Point &a,const Point &b) {
         if( !cmp ) return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y;
         return a.slop > b.slop;
     }
     friend Point operator - (const Point &a,const Point &b) {
         return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};
     }
     friend double operator * (const Point &a,const Point &b) {
         return a.x * b.y - b.x * a.y;
     }
     inline double calc(double a,double b) const {
         return a * x + b * y;
     }
 };
 set<Point> st;
 double a[maxn],b[maxn],rate[maxn],f[maxn],ans;

 inline void Pop_right(set<Point>::iterator nxt,const Point &p) {
     set<Point>::iterator lst;
     while() {
         lst = nxt , ++nxt;
         if( nxt == st.end() ) return;
         if( (*lst-p) * (*nxt-*lst) <=  ) return;
         st.erase(lst);
     }
 }
 inline void Pop_left(set<Point>::iterator prv,const Point &p) {
     set<Point>::iterator lst;
     while(prv!=st.begin()) {
         lst = prv , --prv;
         if( (*lst-*prv) * (p-*lst) <=  ) break;
         st.erase(lst);
     }
 }
 inline void insert(const Point &p) {
     cmp = ;
     set<Point>::iterator prv,nxt,lst=st.lower_bound(p);
     if(lst!=st.begin()) Pop_left(--lst,p);
     lst=st.lower_bound(p);
     if(lst!=st.end()) Pop_right(lst,p);
     st.insert(p) , lst = st.find(p);
     if(lst!=st.begin()) {
         prv = lst , --prv;
         Point x = *prv;
         x.slop = ( p.y - x.y ) / ( p.x - x.x );
         st.erase(prv) , st.insert(x);
     }
     nxt = lst , ++nxt;
     if(nxt!=st.end()) {
         Point x = p , n = *nxt;
         x.slop = ( n.y - x.y ) / ( n.x - x.x );
         st.erase(lst) , st.insert(x);
     } else {
         Point x = p;
         x.slop = -1e18;
         st.erase(lst) , st.insert(x);
     }
 }
 inline double query(const int id) {
     cmp = ;
     const double k = -a[id] / b[id];
     set<Point>::iterator it = st.lower_bound((Point){,,k}); // it can't be st.end() if st isn't empty .
     if( it==st.end() ) return ;
     double ret = it->calc(a[id],b[id]);
     if( it != st.begin() ) {
         --it;
         ret = max( ret , it->calc(a[id],b[id]) );
     }
     return ret;
 }

 int main() {
     static int n;
     scanf("%d%lf",&n,&ans);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",a+i,b+i,rate+i);
     for(int i=;i<=n;i++) {
         ans = max( ans , query(i) );
         f[i] = ans * rate[i] / ( a[i] * rate[i] + b[i] );
         insert((Point){f[i],f[i]/rate[i],});
     }
     printf("%0.3lf\n",ans);
     return ;
 }

不得不说STL的set跑的还是挺快的。

这里是回档后的世界，无论你做什么，你都一定会这样做。

而我努力改变命运，只是为了防止那一切重现。

(来自某中二病晚期患者(不))