题目大意:给定一个 N 个节点的树,求至少剪掉多少条边才能使得从树中分离出一个大小为 M 的子树。

题解:考虑树形 dp,定义 \(dp[u][i][t]\) 为以 u 为根节点与前 i 个子节点构成的子树中,保留 t 个节点(包括根节点)的最小代价,则状态转移方程为 \(dp[u][i][t]=min(dp[u][i][t],dp[u][i-1][t-k]+dp[v][son(v)][k]-2)\),在这里之所以减掉 2,是因为在前 i-1 个子节点与 u 构成的子树中,必然不包括第 i 个子节点,因此代价默认算了 1;同理,对于 dp[v][][] 来说,默认剪掉了 (u,v)。因此,计算答案贡献时,需要将这个值补上。最后,dp[u][1]初始化为 u 的度。

update on 2019.5.25

加入了上下界优化,时间复杂度为 \(O(N^2)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=160; vector<int> G[maxn];
int n,p,ans,dp[maxn][maxn],sz[maxn],indeg[maxn]; void dfs(int u,int fa){
dp[u][1]=indeg[u];
sz[u]=1;
for(auto v:G[u]){
if(v==fa)continue;
dfs(v,u);
sz[u]+=sz[v];
for(int j=sz[u];j>1;j--)
for(int k=1;k<=min(sz[v],j-1);k++)
dp[u][j]=min(dp[u][j],dp[u][j-k]+dp[v][k]-2);
}
ans=min(ans,dp[u][p]);
}
void read_and_parse(){
scanf("%d%d",&n,&p);
for(int i=1;i<n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x].pb(y),G[y].pb(x);
++indeg[x],++indeg[y];
}
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
}
void solve(){
ans=1<<20;
dfs(1,0);
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
read_and_parse();
solve();
return 0;
}

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