【洛谷P1272】道路重建

题目大意：给定一个 N 个节点的树，求至少剪掉多少条边才能使得从树中分离出一个大小为 M 的子树。

题解：考虑树形 dp，定义 \(dp[u][i][t]\) 为以 u 为根节点与前 i 个子节点构成的子树中，保留 t 个节点（包括根节点）的最小代价，则状态转移方程为 \(dp[u][i][t]=min(dp[u][i][t],dp[u][i-1][t-k]+dp[v][son(v)][k]-2)\)，在这里之所以减掉 2，是因为在前 i-1 个子节点与 u 构成的子树中，必然不包括第 i 个子节点，因此代价默认算了 1；同理，对于 dp[v][][] 来说，默认剪掉了 (u,v)。因此，计算答案贡献时，需要将这个值补上。最后，dp[u][1]初始化为 u 的度。

update on 2019.5.25

加入了上下界优化，时间复杂度为 \(O(N^2)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=160;

vector<int> G[maxn];
int n,p,ans,dp[maxn][maxn],sz[maxn],indeg[maxn];

void dfs(int u,int fa){
	dp[u][1]=indeg[u];
	sz[u]=1;
	for(auto v:G[u]){
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
		for(int j=sz[u];j>1;j--)
			for(int k=1;k<=min(sz[v],j-1);k++)
				dp[u][j]=min(dp[u][j],dp[u][j-k]+dp[v][k]-2);
	}
	ans=min(ans,dp[u][p]);
}
void read_and_parse(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		G[x].pb(y),G[y].pb(x);
		++indeg[x],++indeg[y];
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
}
void solve(){
	ans=1<<20;
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}