【xsy2504】farm 容斥原理

题目大意：给你三个数$n,m,s$，满足$n,m,s≤10^{18}$且最大质因数均不大于$10^6$。

问你存在多少个整数$k$，满足$0≤k≤m$，且$(k,0)$，$(0,n)$，$(x,y)$组成的三角形面积为$s$，其中$x,y$均为整数。

同时，问你存在多少个整数$p$，满足$0≤p<n$，且$(0,0)$，$(0,p)$，$(x,y)$组成的三角形面积为$s$，其中$x,y$均为整数。

请输出两个问题的和。

不超过1000组数据。

对于第一个问题，我们列出三角形面积的式子

s=(s黄+s灰+s蓝+s红)-s灰-s红-s蓝

$s=|\frac{1}{2}nk-\frac{1}{2}x(n-y)-xy-\frac{1}{2}y(k-x)|$

经过化简，有$|k(y-n)+nx|=2s$

若方程有整数解，则有$gcd(k,n)|2s$

我们设$N[i]$表示数字$n$中出现了多少个质因数$p[i],K[i],S[i]$同理。

若$N[i]>S[i]$，那么有$K[i]≤S[i]$。

基于这个性质，我们就可以通过容斥原理来求了，详见代码。

考虑第二个问题，第二个问题显然是求$s$的约数个数，随便搜一下就可以了。

时间复杂度：$O(2^{16}+\sigma(10^{18}))$

 #include<bits/stdc++.h>
 #define MM 1000005
 #define NN 80000
 #define L long long
 using namespace std;

 L pow_mod(L x,L k){L ans=; for(;k;k>>=,x=x*x) if(k&) ans=ans*x; return ans;}

 int pri[MM]={},b[MM]={},use=,last[MM]={},id[MM]={};
 void init(){
     for(int i=;i<MM;i++){
         if(!b[i]) pri[++use]=i,last[i]=,id[i]=use;
         for(int j=;j<=use&&i*pri[j]<MM;j++){
             b[i*pri[j]]=; last[i*pri[j]]=i;
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
 }

 int M[NN]={},N[NN]={},S[NN]={};
 L a[MM]={},m,n,s,ans=,hh=;

 void rd(L &res,int cnt[]){
     res=;
     for(int i=;i<;i++){
         int x; scanf("%d",&x);
         for(res*=x;x>;x=last[x])
         cnt[id[x/last[x]]]++;
     }
 }
 void dfs(L x,L id){
     if(id==hh)
     return void(ans+=(x<=n));
     int ID=a[id];
     for(int i=;i<=S[ID];i++){
         dfs(x,id+);
         x=x*pri[ID];
     }
 }
 void solve(){
     memset(M,,sizeof(M)); memset(N,,sizeof(N)); memset(S,,sizeof(S)); ans=hh=;
     rd(n,N); rd(m,M); rd(s,S);
     s<<=; S[]++;
     for(int i=;i<NN;i++) if(N[i]>S[i]) a[hh++]=pow(pri[i],S[i]+);
     for(int i=;i<(<<hh);i++){
         L mul=,zf=;
         for(int j=;j<hh;j++)
         if(i&(<<j)){
             mul=mul*a[j]; zf=-zf;
         }
         ans=ans+(m/mul)*zf;
     }
     hh=; for(int i=;i<NN;i++) if(S[i]) a[hh++]=i;
     dfs(,);
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main(){
     init();
     int t; cin>>t;
     while(t--) solve();
 }