CodeCraft-19 and Codeforces Round #537 (Div. 2) 题解

传送门

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D. Destroy the Colony

首先明确题意：除了规定的两种（或一种）字母要在同侧以外，其他字母也必须在同侧。

发现当每种字母在左/右边确定之后，方案数就确定了，就是分组的方案数乘\(\frac{((n/2)!)^2}{\prod cnt_i!}\)。

分组的方案数考虑DP，设\(dp_{i,j}\)为前\(i\)个字母，占了左边\(j\)个位置的方案数，则有：

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-cnt_i}+dp_{i-1,j}
\]

当\(i\)是指定字母时特判即可。

这样复杂度为\(O(52^3n)\)，无法通过。

考虑最多指定两次字母，而且字母顺序对结果没有关系，可以先把所有的DP出来，然后假装指定的两个字母是最后两个DP的，按照DP方程撤销即可。

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 101101
	#define mod 1000000007
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
    	while(__z[++__Z]=x%10+48,x/=10);
    	while(__sr[++__C]=__z[__Z],--__Z);__sr[++__C]='\n';
    }
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m,K;
char s[sz];
int a[sz],aa[sz];
int cnt[233];
ll T;

ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){fac[0]=_fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,_fac[i]=inv(fac[i]);}
ll C(int n,int m){return n>=m&&m>=0?fac[n]*_fac[m]%mod*_fac[n-m]%mod:0;}

int sum[66];
ll dp[sz],cur[sz];
ll ans[66][66];
void Init()
{
	rep(i,1,K) sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];
	dp[0]=1;
	int n=::n>>1;
	rep(i,1,K)
		drep(j,n,cnt[i])
			dp[j]=(dp[j]+dp[j-cnt[i]])%mod;
}
ll solve(int x,int y)
{
	int n=::n>>1;
	if ((cnt[x]>n&&x==y)||(cnt[x]+cnt[y]>n&&x!=y)) return 0;
	ll c=fac[n]*fac[n]%mod*inv(T)%mod;
	if (x==y) return c*dp[n]%mod;
	rep(i,0,n) cur[i]=dp[i];
	rep(j,cnt[x],n)
		cur[j]=(cur[j]-cur[j-cnt[x]]+mod)%mod;
	rep(j,cnt[y],n)
		cur[j]=(cur[j]-cur[j-cnt[y]]+mod)%mod;
	return c*cur[n-cnt[x]-cnt[y]]*2%mod;
}

int main()
{
	file();
	cin>>(s+1);n=strlen(s+1);
	rep(i,1,n) a[i]=aa[i]=s[i];
	sort(aa+1,aa+n+1);K=unique(aa+1,aa+n+1)-aa-1;
	rep(i,1,n) a[i]=lower_bound(aa+1,aa+K+1,a[i])-aa;
	rep(i,1,n) ++cnt[a[i]];
	init();Init();
	T=1;rep(i,1,K) T=T*fac[cnt[i]]%mod;
	rep(i,1,K) rep(j,1,K) ans[i][j]=solve(i,j);
	read(m);
	int x,y;
	while (m--) read(x,y),printf("%lld\n",ans[a[x]][a[y]]);
	return 0;
}

E. Tree

显然需要DP，但怎么DP呢？

考虑每个点只被自己的祖先限制，可以把要DP的点按某种方法排序，使得每个点的祖先都在自己之前处理完毕，就可以了。

设\(dp_{i,j}\)表示前\(i\)个点，分成\(j\)个集合的方案数，则有：

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+(j-f_x)\times dp_{i-1,j}
\]

其中\(f_x\)表示\(x\)的祖先数。

这时又发现按\(f_x\)从小到大排序，就可以满足要求，于是就做完了。

注意出题人卡空间，DP需要滚掉一维。

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 101010
	#define mod 1000000007
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    	while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    	while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,Q;
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

int dfn[sz],son[sz],size[sz],dep[sz],top[sz],fa[sz],T;
#define v edge[i].t
void dfs1(int x,int fa)
{
	::fa[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;
	size[x]=1;
	go(x) if (v!=fa)
	{
		dfs1(v,x);
		size[x]+=size[v];
		if (size[v]>size[son[x]]) son[x]=v;
	}
}
void dfs2(int x,int fa,int tp)
{
	top[x]=tp;dfn[x]=++T;
	if (son[x]) dfs2(son[x],x,tp);
	go(x) if (v!=fa&&v!=son[x]) dfs2(v,x,v);
}
#undef v

int tr[sz];
void add(int x,int y){while (x<=n) tr[x]+=y,x+=(x&(-x));}
int query(int x){int ret=0;while (x) ret+=tr[x],x-=(x&(-x));return ret;}
int query(int x,int y){return query(y)-query(x-1);}

int Query(int x,int y)
{
	int ret=0;
	while (top[x]!=top[y])
	{
		if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		ret+=query(dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	ret+=query(dfn[x],dfn[y]);
	return ret;
}

int a[sz];
int f[sz];
inline bool cmp(const int &x,const int &y){return f[x]<f[y];}
ll dp[333];

int main()
{
	file();
	int x,y,K,m,rt;
	read(n,Q);
	rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
	dfs1(1,0);dfs2(1,0,1);
	while (Q--)
	{
		read(K,m,rt);
		rep(i,1,K) read(a[i]),add(dfn[a[i]],1);
		rep(j,1,m) dp[j]=0;
		dp[0]=1;
		rep(i,1,K) f[a[i]]=Query(rt,a[i])-1;
		sort(a+1,a+K+1,cmp);
		rep(i,1,K)
		{
			x=a[i];
			drep(j,m,f[x]+1) dp[j]=(dp[j-1]+dp[j]*(j-f[x])%mod)%mod;
			rep(j,0,f[x]) dp[j]=0;
		}
		ll ans=0;
		rep(i,1,m) (ans+=dp[i])%=mod;
		printf("%lld\n",ans);
		rep(i,1,K) add(dfn[a[i]],-1);
	}
	return 0;
}