BZOJ3033太鼓达人——哈密顿回路/欧拉回路

题目描述

　　七夕祭上，Vani牵着cl的手，在明亮的灯光和欢乐的气氛中愉快地穿行。这时，在前面忽然出现了一台太鼓达人机台，而在机台前坐着的是刚刚被精英队伍成员XLk、Poet_shy和lydrainbowcat拯救出来的的applepi。看到两人对太鼓达人产生了兴趣，applepi果断闪人，于是cl拿起鼓棒准备挑战。然而即使是在普通难度下，cl的路人本性也充分地暴露了出来。一曲终了，不但没有过关，就连鼓都不灵了。Vani十分过意不去，决定帮助工作人员修鼓。

　　鼓的主要元件是M个围成一圈的传感器。每个传感器都有开和关两种工作状态，分别用1和0表示。显然，从不同的位置出发沿顺时针方向连续检查K个传感器可以得到M个长度为K的01串。Vani知道这M个01串应该是互不相同的。而且鼓的设计很精密，M会取到可能的最大值。现在Vani已经了解到了K的值，他希望你求出M的值，并给出字典序最小的传感器排布方案。

输入

　　一个整数K。

输出

　一个整数M和一个二进制串，由一个空格分隔。表示可能的最大的M，以及字典序最小的排布方案，字符0表示关，1表示开。你输出的串的第一个字和最后一个字是相邻的。

样例输入

3

样例输出

8 00010111

提示

得到的8个01串分别是000、001、010、101、011、111、110和100。注意前后是相邻的。长度为3的二进制串总共只有8种，所以M = 8一定是可能的最大值。

对于全部测试点，2≤K≤11。

哈密顿回路：

将每个点看成一个$k$位的二进制，每条边看成一个$k+1$位的二进制，那么一个点$u$向另一个点$v$连边当且仅当$u$去掉第一位后在后面加上一位能得到$v$，例如：$001$向$010$连边，边的二进制为$0010$。可以发现，这个图一定存在一条哈密顿回路，那么第一问的答案显然是$2^k$。对于第二问，因为$k$较小，直接暴力找哈密顿回路即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
int vis[3000];
int ans[3000];
int k,n;
int mask;
bool dfs(int x,int dep)
{
	ans[dep]=x;
	vis[x]=1;
	if(dep==n)
	{
		return 1;
	}
	if(!vis[(x<<1)&mask])
	{
		if(dfs((x<<1)&mask,dep+1))
		{
			return 1;
		}
	}
	if(!vis[((x<<1)|1)&mask])
	{
		if(dfs(((x<<1)|1)&mask,dep+1))
		{
			return 1;
		}
	}
	vis[x]=0;
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&k);
	n=1<<k,mask=n-1;
	printf("%d ",n);
	vis[0]=1;
	dfs(0,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d",(ans[i]>>(k-1))&1);
	}
}

欧拉回路：

如果将点看成一个$k-1$位的二进制，边看成一个$k$位二进制，那么就是求一个欧拉回路，同样暴力$dfs$即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
int vis[3000];
int ans[3000];
int k,n;
int mask;
bool dfs(int x,int dep)
{
	if(dep==n)
	{
		return 1;
	}
	if(!vis[x<<1])
	{
		vis[x<<1]=1;
		ans[dep+1]=x<<1;
		if(dfs((x<<1)&mask,dep+1))
		{
			return 1;
		}
		vis[x<<1]=0;
	}
	if(!vis[x<<1|1])
	{
		vis[x<<1|1]=1;
		ans[dep+1]=x<<1|1;
		if(dfs((x<<1|1)&mask,dep+1))
		{
			return 1;
		}
		vis[x<<1|1]=0;
	}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&k);
	n=1<<k,mask=(1<<(k-1))-1;
	printf("%d ",n);
	dfs(0,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d",(ans[i]>>(k-1))&1);
	}
}