『简单积性函数和dirichlet卷积』

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简单积性函数

在学习欧拉函数的时候，相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来，我们将相信介绍几种简单的积性函数，以备\(dirichlet\)卷积的运用。

定义

数论函数：在数论上，对于定义域为正整数，值域为复数的函数，我们称之为数论函数。

积性函数：对于数论函数\(f\)，若满足\(gcd(a,b)=1\)时，有\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称函数\(f\)为积性函数

简单积性函数

约数个数函数

\[\tau(n)=\sum_{k|n}1
\]

约数和函数

\[\sigma(n)=\sum_{k|n}k
\]

元函数

\[e(n)=\begin{cases}1\ (n=1)\\0\ (n\not =1)\end{cases}
\]

恒等函数

\[I(n)=1
\]

单位函数

\[\epsilon(n)=n
\]

欧拉函数

\[\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]
\]

\(Möbius\)函数

\[n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i},\mu(n)=\begin{cases}1\ (n=1)\\(-1)^k\ (\forall\ c_i=1)\\0\ (\exists\ c_i>1)\end{cases}
\]

简单积性函数的求解

与经典的\(Möbius\)函数和欧拉函数同理，这些积性函数都是可以通过线性筛的过程顺带地求出来的，我们不再详细讨论，具体可以参见\(hezlik\)的博客。

dirichlet卷积

定义

\(dirichlet\)卷积是数论函数之间的一种运算，我们设有两个数论函数\(f\)和\(g\)，它们的定义域为正整数\([1,n]\)，那么它们的\(dirichlet\)卷积可以如下表示：

\[(f \times g)(n)=\sum_{d|n}f(x)g(\frac{n}{d})
\]

我们可以简单地用\(O(nlog_2n)\)的时间求出两个函数的\(dirichlet\)卷积，其时间复杂度可以使用调和级数证明。

\(Code:\)

inline void dirichlet(long long *a,long long *b)
{
    long long res[N]={};
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j*i<=n;j++)
            res[i*j] = (res[i*j] + a[i] * b[j] % Mod) % Mod ;
    memcpy( a , res , sizeof res );
}

性质

\(1.\) 两个积性函数\(f\)和\(g\)的\(dirichlet\)卷积仍为积性函数。

证明：

设有两个积性函数\(f\)和\(g\)，则它们的\(dirichlet\)卷积为：

\[h=f\times g=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]

对于函数\(h\)则可以得到：

\[h(x)h(y)=(\sum_{d_1|x}f(d_1)g(\frac{x}{d_1}))(\sum_{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d_2}))
\\=\sum_{d_1|x,d_2|y}f(d_1d_2)g(\frac{xy}{d_1d_2})\\=\sum_{d|xy}f(d)g(\frac{xy}{d})=h(xy)\]

故函数\(h\)为积性函数。

\(2.\) \(dirichlet\)卷积满足交换律。

证明：

设有数论函数\(f\)和\(g\)，则有

\[f\times g=\sum_{d|n}f(n)g(\frac{n}{d})\\=\sum_{d|n}g(n)f(\frac{n}{d})=g\times f
\]

\(3.\) \(dirichlet\)卷积满足结合律。

证明：

设有数论函数\(f\)，\(g\)和\(h\)，则有

\[(f\times g)\times h=f\times g \times h\\=g\times h \times f=(g\times h)\times f\\=f\times (g\times h)
\]

\(4.\)\(dirichlet\)卷积满足分配律。

证明：

设有数论函数\(f\)，\(g\)和\(h\)，则有

\[(g+h)\times f=\sum_{d|n}(g(d)+h(d))f(\frac{n}{d})
\\=\sum_{d|n}g(d)f(\frac{n}{d})+\sum_{d|n}h(d)f(\frac{n}{d})
\\=g\times f+h\times f\]

简单卷积

\(1.\) \(f\times e=f\)

证明：

\[(f\times e)(n)=\sum_{d|n}f(d)e(\frac{n}{d})\\=\sum_{d|n}f(d)[\frac{n}{d}==1]\\=\sum_{d|n}f(d)[n==d]=f(n)
\]

由上，我们证明了\(dirichlet\)卷积这种运算的单位元为原函数\(e\)，我们可以进一步地定义出数论函数\(f\)的逆函数\(f^{-1}\)，使得\(f\times f^{-1}\)成立，可以用如下方式构造：

\[f^{-1}(n)=\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{f(1)}\ (n=1)\\-\frac{1}{f(1)}\sum_{d|n\cap d<n}f
(\frac{n}{d})f^{-1}(d)\ (n\not=1)\end{cases}\]

\(2.\) \(e=\mu\times I\)

证明：

考虑\(Möbius\)函数的一个性质，对于质数\(p\)和整数\(a\)满足\(p\not|a\)，有\(\mu(ap)+\mu(a)=0\)，这是可以由\(Möbius\)函数的定义得到的，那么我们设\(n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\)，则

\[(\mu \times I)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)I(\frac{d}{n})=\sum_{d|n}\mu(d)
\]

事实上枚举了\(n\)的每一个约数，并对其的\(\mu\)函数值进行了求和。

设\(P=\{1,p_1,p_2,...,p_{k-1}\}\)，由此可得：

\[(\mu \times I)(n)=\sum_{S\subseteq P}\left (\mu(\prod_{p\in S}p) + \mu(p_k\prod_{p\in S}p)\right )
\]

由\(\mu\)函数的性质可知：

\[(\mu \times I)(n)=0\ (n>1)
\]

而\(n=1\)时\((\mu \times I)(1)=1\)，所以有\(e=\mu\times I\)。

\(3.\) \(\phi=\mu\timesε\)

证明：

欧拉函数是可以用容斥原理算的，考虑到\(\mu\)函数的定义，发现\(\mu\)可以恰好可以作为欧拉函数的容斥系数，即有：

\[\phi(n)=n+\sum_{x\not =1\cap x|n}\frac{n}{x}\mu(x)\\=\sum_{x|n}\frac{n}{x}\mu(x)=(\mu \times ε)(n)
\]

\(4.\) \(\sigma=I\times \epsilon\)

证明：

利用定义展开，得

\[(I\times \epsilon)(n)=\sum_{d|n}I(\frac{n}{d})\epsilon(d)\\=\sum_{d|n} d=\sigma(n)
\]

\(5.\) \(\tau=I\times I\)

证明：

利用定义展开，得

\[(I\times I)(n)=\sum_{d|n}I(\frac{n}{d})I(d)\\=\sum_{d|n}1=\tau(n)
\]

简单运用

\(1.\) 欧拉函数具有性质：\(n=\sum_{d|n}\phi(\frac{n}{d})\)

证明：

\[n=\epsilon(n)=(\epsilon \times e)(n)=(\epsilon\times \mu \times I)(n)\\=(\phi\times I)(n)=\phi(n)
\]

\(2.\) 两次\(dirichlet\)卷积，可以得到：\(\sigma=\tau \times\phi\)

证明：

\[\sigma(n)=(I\times\epsilon)(n)=(I\times I\times\phi)(n)=(\tau \times \phi)(n)
\]

\(3.\) 可以推得\(Möbius\)定理：\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\)

证明：

已知\(F=I\times f\)，试证明\(f=\mu\times F\)，可以利用\(dirichlet\)卷积推导：

\[F=I\times f \\\mu\times F=\mu \times I \times f \\\mu \times F=e \times f=f
\]

运用

多数时候，对于约数求和式和一些有关数论函数的运算都可以和\(dirichlet\)卷积搭上关系，相当于可以作为推导式子的一个有用工具，其关键在于熟悉定义及其运算，重要常见的几个卷积需要我们牢记。

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<后记>