洛谷P4155 BZOJP4444 [SCOI2015]国旗计划

自己做出来的第一道倍增(fake)

原题链接

看到题目，贪心水题！不仅思维难度低，代码也好(难)写，三下五除二就写了出来，过了样例。但是一交，只有40pts。一道紫题能让我快速水40pts，良心出题人啊＞ω＜！

然后我们考虑如何优化这个贪心：

首先我们发现，对于每一个人，在贪心的思路下，他的下一个最优的接替者都是一定的。这表明我们之前\(O(n^2)\)的贪心中，有很多步骤都是不必要的，如果我们能记录一下从某个人开始，经过几轮交替后的接替者是谁就好了。

于是我们令\(f[i][j]\)表示从第\(i\)个人开始，经过\(j\)次交替后的接替者，但很尴尬的是，这样会爆空间，时间复杂度貌似也不好。然后我们想到了倍增：

令\(f[i][j]\)表示从第\(i\)个人开始，经过\(2^j\)次交替后的接替者，\(f[i][j]\)可以从\(f[f[i][j-1]][j-1]\)转移过来，查询的时候我们就像倍增求\(LCA\)一样，从大到小往上跳，直到当前接替者的奔袭区间的右端点距离\(i\)的左端点不小于\(m\)就行了。

还有一个要注意的地方，我们在预处理\(f[i][0]\)时，不能用\(O(n)\)扫一遍。考虑一种极端情况：所有奔袭区间都为定长\(m-1\)，且左端点依次相差\(1\)，如果我们还扫一遍的话就会被卡回\(O(n^2)\)了。因为奔袭区间没有互相包含，所以左端点不超过当前区间右端点，且离当前区间右端点最近的区间一定是下一个最优选择，我们二分一下左端点就行了。

上代码（倍增题的预处理都巨长，是我写丑了嘛）：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N (int)2e5
#define re register
#define il inline
int n, m, l, r, ans[N+5], f[4*N+5][22], power[30]; //注意断环为链
struct Seg {
    int id, l, r;
    friend bool operator < (const Seg &lhs, const Seg &rhs) {
        return lhs.l < rhs.l;
    }
}seg[4*N+5];
il int read() {
    int s = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') s = s*10+c-'0', c = getchar();
    return s;
}
il void write(int x) {
    if(x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
il void init() {
    n = read(), m = read();
    power[0] = 1;
    for(re int i = 1; i <= n; ++i) power[i] = (power[i-1]<<1); //预处理2的次幂
    for(re int i = 1; i <= n; ++i) {
        seg[i].id = seg[i+n].id = i;
        seg[i].l = read(), seg[i].r = read();
        if(seg[i].l > seg[i].r) seg[i].r += m;
        seg[i+n].l = seg[i].l+m, seg[i+n].r = seg[i].r+m;
    }
    sort(seg+1, seg+2*n+1);
    for(re int i = 1, l, r, mid; i <= n; ++i) {
        l = i+1, r = 2*n;
        while(l != r) { //二分左端点
        	mid = (l+r)/2;
        	if(seg[mid].l > seg[i].r) r = mid;
        	else l = mid+1;
        }
        f[i][0] = l-1, f[i+n][0] = l-1+n; //初值
    }
    for(re int j = 1; power[j] <= n; ++j)
        for(re int i = 1; i <= n; ++i)
            f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1], f[i+n][j] = f[i][j]+n; //递推f数组
}
int main() {
    init();
    for(re int i = 1, cnt, lim, u; i <= n; ++i) {
        cnt = 1, lim = seg[i].l+m, u = i;
        for(re int j = 20; j >= 0; --j)
            if(seg[f[u][j]].id && seg[f[u][j]].r < lim) cnt += power[j], u = f[u][j];
        ans[seg[i].id] = cnt+1;
    }
    for(re int i = 1; i <= n-1; ++i) write(ans[i]), putchar(' ');
    write(ans[n]);
    return 0;
}