上一篇简单介绍了下Prolog的一些基本概念，今天我们来利用这些基本概念解决两个问题：数独和八皇后问题。

数独

数独是一个很经典的游戏：

玩家需要根据n×n盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-n，不重复。

当然数独的阶有很多，9×9是最常见的，我们就以它做例子。在用Prolog解决之前先想想如果我们用C#或Java来做或怎么做？无非就是数据结构加算法，我们先得用一个数据结构表示数独，然后我们要在这个数据结构上“施加”算法进行求解。采用Prolog的第一步是相同的，我们得找一个数据结构表示数独，毫无疑问在Prolog中我们只能选择列表或元组，这里列表是更好的选择，因为列表可以进行[Head|Tail]解析，后面你就知道为什么了。我们像下面这样表示一个数独：

[_, , _, , , , _, _, _,

 , _, , _, _, _, , _, _,

 _, , _, , _, _, _, , _,

 , _, , _, , _, _, _, ,

 , _, _, , _, , _, _, ,

 , _, _, _, , _, , _, ,

 _, , _, _, _, , _, , _,

 _, _, , _, _, _, , _, ,

 _, _, _, , , , _, , _]

“_”代表未知的数字，需要玩家填空的地方。

接下来的步骤跟命令式语言就截然不同了，我们不是描述算法，而是要描述数独这个游戏的规则：

给定玩家一个9×9的盘面，玩家填充完所有的空格后最终的解仍然是这个9×9的盘面；
填充完空格后，每一个空格内的数字均在1~9之内；
填充完空格后，每一行9个数字各不相同；
填充完空格后，每一列9个数字各不相同；
填充完空格后，每一个宫格内的数字各不相同。

Ok，这就是整个游戏的规则。你可能觉得第一条规则没什么用，实际上第一条规则定义了“解”的形式，就像在C#中我们确定了方法的签名一样：

sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle.

事实上这个规则已经可以工作了：

| ?- sudoku([,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,,

             ,,,,,,,,],Solution). 

Solution = [,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,......

当然这只是第一步，这个规则对于输入的数独形式没有任何限制，事实上可以是任意的列表,Prolog都返回yes：

| ?- sudoku([,,],Solution).

Solution = [,,]

yes

我们需要规定下数独的形式：

sudoku(Puzzle,Solution):-

    Solution = Puzzle,

    Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19,

              S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29,

              S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39,

              S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49,

              S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59,

              S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69,

              S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79,

              S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89,

              S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99].

| ?- sudoku([,,],Solution).

no

我们接着看第二条规则：“填充完空格后，每一个空格内的数字均在1~9之内” 。上一篇文章中我们介绍了Prolog中有一个内置谓词叫fd_domain，这时候就可以派上用场了：

sudoku(Puzzle,Solution):-

    Solution = Puzzle,

    Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19,

              S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29,

              S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39,

              S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49,

              S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59,

              S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69,

              S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79,

              S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89,

              S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99],

    fd_domain(Puzzle,1,9).

好了现在我们只能输入9×9并且每个每个位置上只能是1~9之间的数的列表了。

好了，现在到整个游戏的关键规则，事实上2,3,4这三个规则才决定了数独的难度，1,2只不过是基础，我们来统一考虑这三个问题。这里其实比想象的简单多了。我们首先要做的就是需要定义出来行、列、宫格：

Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19],

Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29],

Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39],

Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49],

Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59],

Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69],

Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79],

Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89],

Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99],

Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91],

Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92],

Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93],

Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94],

Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95],

Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96],

Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97],

Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98],

Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99],

Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33],

Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36],

Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39],

Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63],

Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66],

Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69],

Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93],

Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96],

Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99],

上一篇文章中我还提到一个谓词叫fd_all_different:检查列表中是否有重复元素，接下来我们只要证明每一列，每一行，每一个宫格列表内没有重复元素就可以了：

fd_all_different(Row1),

fd_all_different(Row2),

……

fd_all_different(Col1),

fd_all_different(Col2),

……

fd_all_different(Square1),

fd_all_different(Square2),

……

其实到此这个解数独的程序已经结束了，不过最后这几行代码太土了，我们可以采用用递归“优化”下，像下面这样：

valid([]).

valid([Head|Tail]):-

    fd_all_different(Head),

    valid(Tail).

valid([Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9,

          Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9,

          Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9]).

不管你信不信，我们已经搞定了，最终完整的代码如下：

valid([]).

valid([Head|Tail]):-

    fd_all_different(Head),

    valid(Tail).

sudoku(Puzzle,Solution):-

    Solution = Puzzle,

    Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19,

          S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29,

          S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39,

          S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49,

          S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59,

          S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69,

          S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79,

          S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89,

          S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99],

    fd_domain(Puzzle,,),

    Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19],

    Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29],

    Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39],

    Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49],

    Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59],

    Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69],

    Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79],

    Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89],

    Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99],

    Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91],

    Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92],

    Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93],

    Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94],

    Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95],

    Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96],

    Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97],

    Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98],

    Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99],

    Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33],

    Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36],

    Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39],

    Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63],

    Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66],

    Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69],

    Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93],

    Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96],

    Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99],

    valid(Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9,

          Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9,

          Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9).

反正我信了，我们来试试吧，就以上面我从百度上找到的那个图为例：

| ?- sudoku([_, , _, , , , _, _, _,

 , _, , _, _, _, , _, _,

 _, , _, , _, _, _, , _,

 , _, , _, , _, _, _, ,

 , _, _, , _, , _, _, ,

 , _, _, _, , _, , _, ,

 _, , _, _, _, , _, , _,

 _, _, , _, _, _, , _, ,

 _, _, _, , , , _, , _],Solution).

Solution = [,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]

美化后的结果是这样的：

[,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,,

 ,,,,,,,,]

Perfect!

八皇后问题

Ok，有了数独问题作为铺垫，下面看八皇后问题应该就应该没那么难了，请保持用Prolog思考问题的方式，解决后你会发现Prolog真是这方面的“专家”，Let's Go!

八皇后问题也是一个非常经典的问题：

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

老套路我们先描述游戏规则。

每个皇后有一个行号和列号，行号和列号的取值范围在1~8之间；
一个棋盘上有八个皇后；
任意两个皇后不可以共享一行；
任意两个皇后不可以共享一列；
任意两个皇后不可以在同一个对角线上（左下角->右上角）；
任意两个皇后不可以在同一个对角线上（右下角->左上角）。

在了解规则之后我们梳理一下这个问题，对照上面这个图：

我们给棋盘上每一个位置设定一个坐标(x,y)，八个皇后的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)……我们以回溯的角度看问题，假设如图已经得到了最后解，那么这8个坐标满足：x1，x2……各不相同，y1，y2……个不相同，找出(x1,y1)，(x2,y2)……中属于对角线1上的和对角线2上的位置，它们坐标应该个不相同。

(1,1),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(1,8)

(,),(2,2),(,),(,),(,),(,),(2,7),(,)

(,),(,),(3,3),(,),(,),(3,6),(,),(,)

(,),(,),(,),(4,4),(4,5),(,),(,),(,)

(,),(,),(,),(5,4),(5,5),(,),(,),(,)

(,),(,),(6,3),(,),(,),(6,6),(,),(,)

(,),(7,2),(,),(,),(,),(,),(7,7),(,)

(8,1),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(8,8)

所以整个问题的难点在于给定类似下面这样一个列表，我们需要找出其中的所有的行号，列号，和在对角线上的坐标：

[(,),(,),(,),(,),(,),(4,4),(4,5),(5,4)]

找出行号和列号稍微简单点，这里直接给出答案，大家也可以自己思考下：

rows([],[]).

rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):-

    rows(QueensTail,RowsTail).

cols([],[]).

cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):-

	cols(QueensTail,ColsTail).

把上面的列表代进去简单验证下：

| ?- rows([(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)],Rows).

Rows = [,,,,,,,]

yes

| ?- cols([(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)],Cols).

Cols = [,,,,,,,]

yes

关键是如何验证对角线上的元素，而且两条对角线是不一样的，提醒下因为我们最后会还是会利用fd_all_different这个谓词。

好吧，我们回过头观察下上面那个棋盘的坐标图（注意我标红的地方），有没有发现什么规则呢？

左上角到右下角的对角线上的元素：所有坐标的横坐标-纵坐标都相同，等于0；
左下角到右上角的对角线上的元素：所有坐标的横坐标+纵坐标都相同，等于9；

OK，我们可以定义下面这样两个谓词diags1和diags2：

diags1([],[]).

diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col - Row,

    diags1(QueensTail,DiagonalsTail).

diags2([],[]).

diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col + Row,

    diags2(QueensTail,DiagonalsTail).

我们可以简单验证下：

| ?- diags1([(,),(,)],Diags1).

Diags1 = [0,0]

yes

| ?- diags2([(4,5),(5,4)],Diags2).

Diags2 = [9,9]

yes

如果坐标在对角线上，那么抓取到的列表元素都是相等的。

好了，到目前为止我们已经完成了最难的部分，剩下的都是一些验证性工作。我们最终的“程序入口”应该是这样的：

eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)])

我们还需要一些验证性工作：

1.给定列表里的皇后是不是合法的，即横纵坐标都在1~8之内，这用到了我上一篇中提到的member谓词：

valid_queen((Row,Col)):-

    Range = [,,,,,,,],

    member(Row,Range),member(Col,Range).

2.验证给定的列表是不是八个皇后，这里用到一个length谓词，顾名思义：

length(Board,).

3.需要递归的验证给定的列表中的每个元素是不是“皇后”：

valid_board([]).

valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail).

Ok，下面就是八皇后问题的答案的完整代码：

valid_queen((Row,Col)):-

    Range = [,,,,,,,],

    member(Row,Range),member(Col,Range).

valid_board([]).

valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail).

rows([],[]).

rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):-

    rows(QueensTail,RowsTail).

cols([],[]).

cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):-

    cols(QueensTail,ColsTail).

diags1([],[]).

diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col - Row,

    diags1(QueensTail,DiagonalsTail).

diags2([],[]).

diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col + Row,

    diags2(QueensTail,DiagonalsTail).

eight_queens(Board) :-

    length(Board,),

    valid_board(Board),

    rows(Board,Rows),

    cols(Board,Cols),

    diags1(Board,Diags1),

    diags2(Board,Diags2),

    fd_all_different(Rows),

    fd_all_different(Cols),

    fd_all_different(Diags1),

    fd_all_different(Diags2).

没错，答案已经出来，但事实上上面这个程序运行的非常慢，我在我i7的笔记本上的GNU Prolog中执行下面这个问题，半天没有响应：

| ?- eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)]).

其实我们可以对这个问题进行一个简化。我们可以肯定棋盘上八行每行肯定有一个皇后，又因为互不能在一行，因此我们假设八皇后的坐标分别为：(1,A),(2,B),(3,C),(4,D),(5,E),(6,F),(7,G),(8,H)。那么我们可以对上面的代码进行优化，去掉所有对行的操作，优化后代码如下：

valid_queen((Row,Col)):- member(Col,[,,,,,,,]).

valid_board([]).

valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail).

cols([],[]).

cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):-

    cols(QueensTail,ColsTail).

diags1([],[]).

diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col - Row,

    diags1(QueensTail,DiagonalsTail).

diags2([],[]).

diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):-

    Diagonal is Col + Row,

    diags2(QueensTail,DiagonalsTail).

eight_queens(Board) :-

    Board = [(,_),(,_),(,_),(,_),(,_),(,_),(,_),(,_)],

    length(Board,),

    valid_board(Board),

    cols(Board,Cols),

    diags1(Board,Diags1),

    diags2(Board,Diags2),

    fd_all_different(Cols),

    fd_all_different(Diags1),

    fd_all_different(Diags2).

然后这样问问题：

eight_queens([(,Y1),(,Y2),(,Y3),(,Y4),(,Y5),(,Y6),(,Y7),(,Y8)]).

| ?- eight_queens([(,Y1),(,Y2),(,Y3),(,Y4),(,Y5),(,Y6),(,Y7),(,Y8)]).

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 =  ? a

Y1 =

Y2 = 

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y7 =

Y8 = 

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 = 

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 =

……

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 = 

Y1 =

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 = 

( ms) no

?后跟a可以一次性询问所有答案，可以看到还是相当的慢，这也算是声明式语言的一个劣势吧。

好了，今天介绍的两个问题就到此结束了。问题本身并不是重点，重点是我们思考问题的方式。

最后提供：源代码下载，希望大家可以喜欢Prolog这门小巧简单，功能强大的语言。

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Asp.net与Dojo交互:仪器仪表实现项目中需要用到仪器仪表的界面来显示实时的采集信息值,于是便遍地寻找,参考了fusionchart和anychart之后,发现都是收费的,破解的又没有这些功能 ...
Prolog学习：基本概念
上一篇对Prolog有了一个感性的认识,今天介绍下Prolog中一些基本概念,想要用Prolog解决一些实际问题之前必须要先了解它们.这些概念在<七周七语言>这本书中都有介绍,我简单提炼汇 ...
Python学习二(生成器和八皇后算法)
看书看到迭代器和生成器了,一般的使用是没什么问题的,不过很多时候并不能用的很习惯书中例举了经典的八皇后问题,作为一个程序员怎么能够放过做题的机会呢,于是乎先自己来一遍,于是有了下面这个ugly的代码 ...
带你轻而易举的学习python——八皇后问题
首先我们来看一下这个著名的八皇后问题八皇后问题:在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行.同一列或同一斜线上,问有多少种摆法. 在这个问题提出之后人们又将 ...
算法学习八皇后问题的递归实现 java版回溯思想
1.问题描述八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题:如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后,使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后?为了达到此目的,任两个皇后都不能处于同一条横行.纵行或 ...
算法——八皇后问题（eight queen puzzle）之回溯法求解
八皇后谜题是经典的一个问题,其解法一共有种! 其定义: 首先定义一个8*8的棋盘我们有八个皇后在手里,目的是把八个都放在棋盘中位于皇后的水平和垂直方向的棋格不能有其他皇后位于皇后的斜对角线上的棋 ...
对八皇后的补充以及自己解决2n皇后问题代码
有了上次的八皇后的基础.这次准备解决2n皇后的问题,: //问题描述// 给定一个n*n的棋盘,棋盘中有一些位置不能放皇后.现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后,使任意的两个黑皇后都不在同一行./ ...
python基础教程总结8——特殊方法，属性，迭代器，生成器，八皇后问题
1. 重写一般方法和特殊的构造方法 1.1 如果一个方法在B类的一个实例中被调用(或一个属性被访问),但在B类中没有找到该方法,那么会去它的超类A里面找. class A: ... def hello ...
八皇后问题——列出所有的解，可推至N皇后
<数据结构>--邓俊辉版本读书笔记今天学习了回溯法,有两道习题,一道N皇后,一道迷宫寻径.今天,先解决N皇后问题.由于笔者擅长java,所以用java重现了八皇后问题. 注意是jav ...

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Minimum Subarray 原题链接: http://lintcode.com/zh-cn/problem/minimum-subarray/# Given an array of intege ...
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