1A2B猜数字

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问题描述

又名猜数字。

一方准备从0到9十个数字里抽出4个数，随机排列，另一方同样以这样的方法回应四个数。位置相同数字相同为A，数字出现，位置不同为B，然后计数。

例1234

5678-0A0B

9012-0A2B

4321-0A4B

1243-2A2B

分析

这个问题关键在于估算备选答案带来的收益。比如题中说的4位数，那么每次决策都有10000种。不同的决策带来的信息量是不同的。我们所期望的是信息量快速增加。所以关键在于如何定义一个决策带来的收益（信息量）。

可以使用熵，熵是描述事物混乱程度的度量。但是我觉得用下面这种方式更好：

如果我猜数字x，你给出的答案（几个A几个B）最多有n*n种，将当前的可行解当做小球放入n*n个盒子。我需要考虑你给出答案之后，期望能够排除掉多少个可行解，排除掉的可行解的个数越多越好。记c1,c2,c3,c4..... C_{n*n} 分别表示你的答案对应的可行解的个数，这些数字之和（也就是可行解的个数）记为N。

那么，我猜数字x，你给出答案1的概率为 $\frac{c_1}{N} $，这时剩余可行解的个数为$ c_1 $

你给出答案2的概率为$ \frac{c_2}{N} $，这时剩余可行解的个数为$ c_2$

......

综上可知，我猜数字x，期望可行解的个数为$ \frac{c_1}{N}\times c_1+\frac{c_2}{N}\times c_2+...+\frac{c_n}{N}\times c_n $

我们想要的是最优决策，最优决策之后，能够最大限度地缩小可行解范围。经过以上定义，就可以枚举全部决策，找到最有答案。

如果是4位数，需要建立一个10000*10000的大表。还是用3位数来说明一下吧。

n = 3
a = [[0] * 10 ** n for _ in range(10 ** n)]
valid = [1] * (10 ** n)

def bit(x, k):
    # 获取数字x的第k为数字
    return x // (10 ** k) % 10

def dif(x, y):
    # 计算x和y的dif结果，也就是p个数字位置数值都相同，q个数字数值相同位置不同
    p, q = 0, 0
    x_set = set()
    y_set = set()
    for i in range(n):
        if bit(x, i) == bit(y, i):
            p += 1
        else:
            x_set.add(bit(x, i))
            y_set.add(bit(y, i))
    q = len(x_set.intersection(y_set))
    return p * n + q

# 初始化数组
for i in range(10 ** n):
    for j in range(i + 1):
        a[i][j] = a[j][i] = dif(i, j)

def get_profit(cnt):
    """
    c1,c2,c3  N=c1+c2+c3  有c1/N的概率取c1，剩下的不确定度为c1（也就是不确定数字的个数）
    所以期望不确定度为：ci*ci/N
    这个概念类似基尼系数
    :param cnt:
    :return:
    """
    return -sum(i * i for i in cnt)

def if_guess(x):
    # 如果猜测x，会有多大的好处
    cnt = [0] * (n * n + 1)
    for res in range(n * n + 1):
        for i in range(10 ** n):
            if valid[i]:
                cnt[a[x][i]] += 1
    return get_profit(cnt)

def get_strategy():
    # 获取当前局面下的策略
    best_number = -1
    best_profit = 0
    for i in range(10 ** n):
        if valid[i]:
            profit = if_guess(i)
            if best_number == -1 or profit > best_profit:
                best_profit = profit
                best_number = i
    return best_number

def update(guess, ans):
    # 根据我的猜测和他的回答，更新当前备选答案
    for i in range(10 ** n):
        if valid[i]:
            if a[guess][i] != ans:
                valid[i] = False

def over():
    # 游戏是否结束
    return len([i for i in valid if i]) == 1

def read_eval():
    real_ans = 891
    while not over():
        x = get_strategy()
        print("guess", x)
        res = dif(real_ans, x)
        print("your ans", res // n, res % n)
        update(x, res)
        input()

read_eval()