小小c#算法题 - 8 - 归并排序 (Merging Sort)

“归并”的含义是将两个或两个以上的有序序列组合成一个新的有序序列。这个“归并”可以在O(n+m)的数量级上实现，但这同时也需要O(n+m)的空间复杂度。具体为：首先分配一个新的长度为n+m的空序列，然后对于序列1（长度为n)，序列2（长度为m），从每个序列的第一个元素开始比较，将较小的元素放入新的序列，然后较小元素原来所在序列的下标加1，这样一直比较下去，最终把这两个序列有序的放入新的序列中。在2-路归并排序中，这里的序列1，序列2表现为待排序列的两个相邻子序列。

2-路归并排序的定义：假设初始序列含有n个记录，则可看成是n个有序的子序列，每个子序列的长度为1，然后两两归并，得到n/2(上取整)个长度为2或1的有序子序列；再两两归并，......，如此重复，直至得到一个长度为n的有序序列为止，这种排序方法称为2-路归并排序。

那么可以看出，2-路归并排序中的核心操作是将一维数组中相邻的两个有序子序列归并为一个有序序列，代码如下：

传入一个数组，将这个数组中的两个有序子序列（low ~ middle, middle + 1 ~high)合并成一个有序的子序列。先把序列copy一份，用来后面比较元素使用。

        static void Merge(int[] numbers, int low, int middle, int high)
        {
            int[] temp = new int[numbers.Length];
            numbers.CopyTo(temp, );
            int index = low;
            int m = middle + ;
            while (low <= middle && m <= high)
            {
                if (temp[low] <= temp[m])
                {
                    numbers[index++] = temp[low++];
                }
                else
                {
                    numbers[index++] = temp[m++];
                }
            }

            // 比较循环结束后，左边（低位）子序列有剩余元素的情况
            while (low <= middle)
            {
                numbers[index++] = temp[low++];
            }

            // 比较循环结束后，右边（高位）子序列有剩余元素的情况
            while (m <= high)
            {
                numbers[index++] = temp[m++];
            }
        }

上面核心操作的算法已经实现了，下面就是怎么通过调用上述算法来对序列进行排序了。这里采用了递归的思想，当对一个序列进行排序时，分别对其左，右子序列进行排序（一般从中间划分），左，右子序列有序后，调用Merger方法合并这两个子序列，得到整个的有序序列。递归停止的条件是序列长度只为1的时候。代码如下：

        static void MergeSort(int[] numbers, int low, int high)
        {
            // low == high时序列长度为1，是停止递归的条件
            if (low != high)
            {
                int middle = (low + high) / ;
                MergeSort(numbers, low, middle);
                MergeSort(numbers, middle + , high);
                Merge(numbers, low, middle, high);
            }
        }

为了方便调用，对MergeSort又封装一次：

        static void MSort(int[] numbers)
        {
            MergeSort(numbers, , numbers.Length - );
        }

下面是对MergeSort方法的调用（这个例子使用控件台应用程序类型）:

        static void Main(string[] args)
        {
            int[] numbers = { , , , , , , , , , , , ,  };
            MSort(numbers);

            foreach (int i in numbers)
            {
                Console.Write(i.ToString() + " ");
            }
         }

归并排序是稳定的排序，Merge方法的时间复杂度为O(n), 要实现排序，需调用logn次Merge方法，所以归并排序的时间复杂度为O(n*logn)。由于排序时需要额外的临时序列的copy，所以空间复杂度为O(n)，这也是归并排序的缺点。

一个可以优化的地方：

Merger方法中，每次都要copy一整份序列。但其实只要copy其中的要比较的两个子序列中的元素即可，所以有优化代码如下：

        static void Merge(int[] numbers, int low, int middle, int high)
        {
            int[] temp = new int[high - low + ];
            for (int i = low, j = ; i <= high; i++)
            {
                temp[j++] = numbers[i];
            }

            int index = low;
            middle -= low;
            high -= low;
            low = ;
            int m = middle + ;
            while (low <= middle && m <= high)
            {
                if (temp[low] <= temp[m])
                {
                    numbers[index++] = temp[low++];
                }
                else
                {
                    numbers[index++] = temp[m++];
                }
            }

            while (low <= middle)
            {
                numbers[index++] = temp[low++];
            }

            while (m <= high)
            {
                numbers[index++] = temp[m++];
            }
        }