【dp，建模】AGC032D Rotation Sort

Problem Link

有一个长为 \(n\) 的排列 \(p\)，给定 \(A,B\)，你每次可以做以下两种操作之一：

• 选取 \(l,r\)，将 \(p[l:r]\) 循环右移，代价为 \(A\)；
• 选取 \(l,r\)，将 \(p[l:r]\) 循环左移，代价为 \(B\)。

求将 \(p\) 排序所需的最小代价。\(n\le 5000\)。

---

技巧：循环移位 → 插入 → 实数坐标，移动

首先感觉这个循环左移右移的操作非常奇怪，用一个新的表述：循环右移即把一个数插到左边一个位置，循环左移即把一个数插到右边一个位置。这是很容易能想到的。

接下来的操作相当厉害：考虑到每个数的相对位置并不好维护，于是改成改变绝对位置！每次就是把一个数移动到一个实数的位置即可！如果往左移就花 \(A\) 的代价，如果往右移就花 \(B\) 的代价。

现在就很好 dp 啦！定义 \(f(i,j)\) 表示考虑到数 \(i\)，它放的位置是 \([j,j+1)\)，最小代价。前缀和优化即可做到 \(O(n^2)\)。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rev(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define Fin(file) freopen(file,"r",stdin);
#define Fout(file) freopen(file,"w",stdout);
using namespace std;
const int N=5e3+5; typedef long long ll;
int n,A,B,a[N],p[N]; ll f[N][N],tf[N][N];
inline void ck(ll& x,ll y) { x>y&&(x=y); }
int main(){
	cin>>n>>A>>B; For(i,1,n) cin>>a[i],p[a[i]]=i;
	memset(f,60,sizeof(f)); f[0][0]=0;
	For(i,1,n){
		For(j,0,n){
			if(j) ck(f[i][j],tf[i-1][j-1]+(j==p[i]?0:j<p[i]?B:A));
			ck(f[i][j],tf[i-1][j]+(j<p[i]?B:A));
		}
		tf[i][0]=f[i][0]; For(j,1,n) tf[i][j]=min(tf[i][j-1],f[i][j]);
	}
	cout<<tf[n][n]<<'\n';
	return 0;
}