[啊哈！算法] 零基础彻底弄懂"并查集"

今天是算法数据结构专题的第5篇文章，我们一起来学习一下「并查集」。

并查集被很多ACMer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。并支持两种操作：

• 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
• 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

不多废话开始文章。

注：文章转载自啊哈磊，感谢啊哈磊学长允许的转载授权

咱们从一个故事说起——解密犯罪团伙。

快过年了，犯罪分子们也开始为年终奖“奋斗”了，小哼的家乡出现了多次抢劫事件。由于强盗人数过于庞大，作案频繁，警方想查清楚到底有几个犯罪团伙实在是太不容易了，不过警察叔叔还是搜集到了一些线索，需要咱们帮忙分析一下。

现在有11个强盗。

1号强盗与2号强盗是同伙。

3号强盗与4号强盗是同伙。

5号强盗与2号强盗是同伙。

4号强盗与6号强盗是同伙。

2号强盗与6号强盗是同伙。

7号强盗与11号强盗是同伙。

8号强盗与7号强盗是同伙。

9号强盗与7号强盗是同伙。

9号强盗与11号强盗是同伙。

1号强盗与6号强盗是同伙。

有一点需要注意：强盗同伙的同伙也是同伙。你能帮助警方查出有多少个独立的犯罪团伙吗？

要想解决这个问题，首先我们假设这11个强盗相互是不认识的，他们各自为政，每个人都是首领，他们只听从自己的。之后我们将通过警方提供的线索，一步步地来“合并同伙”。

第一步：我们申请一个一维数组f，我们用f[1] ~ f[11]分别存储1~11号强盗中每个强盗的首领“BOSS”是谁。

第二步：初始化。根据我们之前的约定，这11个强盗最开始是各自为政的，每个强盗的BOSS就是自己。“1号强盗”的BOSS就是“1号强盗”自己，因此f[1]的值为1。以此类推，“11号强盗”的BOSS是“11号强盗”，即f[11]的值为11。请注意，这是很重要的一步。

我们用数组下标来表示强盗的编号每个单元格中存储的是每个强盗的“BOSS”是谁

第三步：开始“合并同伙”，即如果发现目前两个强盗是同伙，则这两个强盗是同一个犯罪团伙。现在有一个问题：合并之后谁才是这个犯罪团伙的BOSS呢？例如警方得到的第1条线索是“1号强盗与2号强盗是同伙”。“1号强盗”和“2号强盗”原来的BOSS都是自己，如今发现“1号强盗”和“2号强盗”其实是同一个犯罪团伙，那么究竟是让“1号强盗”变成“2号强盗”的BOSS，还是让“2号强盗”变成“1号强盗”的BOSS呢？一个犯罪团伙只能有一个首领。其实无所谓，都可以。我们这里假定左边的强盗更厉害一些，给这个规定起个名字叫作“靠左”法则。也就是说“2号强盗”的BOSS将变成“1号强盗”。因此我们将f[2]中的数改为1，表明“2号强盗”归顺了“1号强盗”。其实准确地说应该是原本归顺“2号强盗”的所有人都归顺了“1号强盗”才对，只不过此时“2号强盗”只孤身一人，因此只需要将f[2]的值改为1。不要着急，继续往后面看，你就知道我为什么这样说了，如下。

警方得到的第2条线索是“3号强盗与4号强盗是同伙”，说明“3号强盗”和“4号强盗”也是同一个犯罪团伙。根据“靠左”原则“4号强盗”归顺了“3号强盗”，所以f[4]中的值要改为3，原理和刚才处理第1条线索是一样的，如下。

警方得到的第3条线索是“5号强盗”与“2号强盗”是同伙。f[5]的值是5，说明“5号强盗”的BOSS仍然是自己。f[2]的值是1，说明“2号强盗”的BOSS是“1号强盗”。根据“靠左”法则，右边的强盗必须归顺于左边的强盗。此时你可能会将f[2]的值改为5。注意啦！此时如果你将f[2]的值改为5，就是说让“2号强盗”归顺“5号强盗”。那“1号强盗”可就不干了，你凭什么抢我的人？他非跟你干一架不可。这样会让“2号强盗”很难选择，我究竟归顺谁好呢？

现在我来给你支个招，嘿嘿( ^_ )古语云“擒贼先擒王”。你直接找“2号强盗”的BOSS“1号强盗”谈，让其归顺“5号强盗”就OK了，也就是将f[1]的值改为5。现在“2号强盗”的BOSS是“1号强盗”，而“1号强盗”的BOSS变成了“5号强盗”，即“1号强盗”带领手下“2号强盗”归顺了“5号强盗”，这样所有的关系信息就都保留下来了。如下。

警方得到的第4条线索是“4号强盗”与“6号强盗”是同伙。f[4]的值是3，f[6]的值是6。根据“靠左”原则，让“6号强盗”加入“3号犯罪团伙”。我们需要将f[6]的值改为3。原理和处理第1条和第2条线索相同。

警方得到的第5条线索是“2号强盗”与“6号强盗”是同伙。f[2]的值是1，f[1]的值是5，即“2号强盗”的大BOSS（首领）是“5号强盗”。f[6]的值是3，即“6号强盗”的BOSS是“3号强盗”。根据“靠左”原则和“擒贼先擒王”原则，让“6号强盗”的BOSS“3号强盗”归顺“2号强盗”的大BOSS（首领）“5号强盗”。因此我们需要将f[3]的值改为5，即让“3号强盗”带领其手下归顺“5号强盗”。

需要特别注意的是，此时，“5号强盗”团伙内部发生了一些变动。我们在寻找“2号强盗”的大BOSS（首领）是谁时，顺带将f[2]从1改成了5，也就是说现在“2号强盗”也变成大BOSS（首领）“5号强盗”的直属手下了。

这就是强盗团伙的江湖规矩，谁能找到自己帮派的大BOSS（首领），谁就会被大BOSS（首领）提拔，升职加薪，成为大BOSS（首领）的直属手下。这种扁平化管理的方式可以有效地提高强盗团伙找大BOSS的效率，在“并查集”算法中有一个专门的术语，叫作“路径压缩”，具体代码在后面展示。

细心的同学会问了，刚才不是说如果直接把f[2]改成5，“2号强盗”和“1号强盗”之间的关系就断了吗？此一时，彼一时。在得到第3条线索的时候，那时候“1号强盗”和“5号强盗”的关系还没有建立起来，如果把f[2]改为5，“2号强盗”想要找 “1号强盗”就找不到了。但到了第5条线索的时候，“2号强盗”和“1号强盗”已经都在大BOSS（首领）“5号强盗”手下工作了，这时候将f[2]改为5，“2号强盗”想找大BOSS（首领）“5号强盗”变得更加方便，而“1号强盗”和“2号强盗”之间的关系也没有丢失，因此整体上效率变得更高了。

警方得到的第6条线索是“7号强盗”与“11号强盗”是同伙。f[11]的值是11，f[7]的值是7。根据“靠左”原则，让“11号强盗”归顺“7号强盗”。我们需要将f[11]的值改为7。

警方得到的第7条线索是“8号强盗”与“7号强盗”是同伙。f[8]的值是8，f[7]的值是7。根据“靠左”原则，让“7号强盗”归顺“8号强盗”。我们需要将f[7]的值改为8。

警方得到的第8条线索是“9号强盗”与“7号强盗”是同伙。f[9]的值是9，f[7]的值是8。根据“靠左”原则和“擒贼先擒王”原则，我们需要将f[8]的值改为9。

警方得到的第9条线索是“9号强盗”与“11号强盗”是同伙。f[9]的值是9，f[11]的值是7。什么？他们竟然不在同一个犯罪团伙中？这貌似不对吧，通过上图可以很显然地看出来“11号强盗”和“9号强盗”都在同一个犯罪团伙中。不过“11号强盗”并不直属于大BOSS（首领）“9号强盗”，而是归顺在“7号强盗”的手下。现在来看看“7号强盗”又归顺了谁呢？我们发现f[7]=8，也就是说“7号强盗”归顺了“8号强盗”。而f[8]=9，也就是说“8号强盗”归顺了“9号强盗”。我们再来看看“9号强盗”有没有归顺于别的人。发现f[9]的值还是9，太牛了！说明“9号强盗”的BOSS仍然是自己，他就是所在团伙的大BOSS（首领）。

我们刚才模拟的过程其实就是递归的过程。从“11号强盗”顺藤摸瓜一直找到他所在团伙的大BOSS（首领）“9号强盗”。刚才说了，强盗团伙的江湖规矩是，谁能找到自己帮派的大BOSS（首领），就会被提拔为首领的直属手下。经过这一次“路径压缩”，一路上“11号强盗”“7号强盗”和“8号强盗”，都找到了自己的大BOSS“9号强盗”。下次再问他们的BOSS是谁的时候，他们就能马上回答出是“9号强盗”啦。

警方得到的最后一条线索是“1号强盗”与“6号强盗”是同伙。这又是一次“路径压缩”的过程。f[1]是5，“1号强盗”的BOSS是“5号强盗”。f[6]是3，“6号强盗”的BOSS是“3号强盗”。f[3]是5，“3号强盗”的BOSS是“5号强盗”。说明“6号强盗”和“1号强盗”是在一个团伙中的，但他现在并不是直接跟着团伙的大BOSS（首领）“5号强盗”，而是跟着“3号强盗”。而经过这次“路径压缩”，他的BOSS就改成了“5号强盗”。但是注意，这一次的“路径压缩”只发生在“6号强盗”“3号强盗”“5号强盗”这条路径上，团伙中的“4号强盗”不在被压缩的路径上，所以他的BOSS暂时不会改变，还是“3号强盗”。

好了，所有的线索分析完毕，那么究竟有多少个犯罪团伙呢？我想你从上面的图中一眼就可以看出来了，一共有3个犯罪团伙，分别是5号犯罪团伙（由5、1、2、3、4、6号强盗组成），9号犯罪团伙（由9、8、7、11号强盗组成）以及10号犯罪团伙（只有10号强盗一个人）。从下面这张图就可以清晰地看出，如果f[i]=i，就表示此人是一个犯罪团伙的最高领导人，有多少个最高领导人就是有多少个“独立的犯罪团伙”。最后数组中f[5]=5、f[9]=9、f[10]=10，因此有3个独立的犯罪团伙。

我们刚才模拟的过程其实就是并查集的算法。并查集通过一个一维数组来实现，其本质是维护一个森林。刚开始的时候，森林的每个点都是孤立的，也可以理解为每个点就是一棵只有一个结点的树，之后通过一些条件，逐渐将这些树合并成一棵大树。其实合并的过程就是“认爹”的过程。在“认爹”的过程中，要遵守“靠左”原则和“擒贼先擒王”原则。在每次判断两个结点是否已经在同一棵树中的时候（一棵树其实就是一个集合），也要注意必须求其根源，中间父亲结点（“小BOSS”）是不能说明问题的，必须找到其祖宗（树的根结点），判断两个结点的祖宗是否是同一个根结点才行。下面我将“解密犯罪团伙”这个问题模型化，并给出代码和注释：

#include <stdio.h>
int f[1001]={0},n,m,sum=0;
//这里是初始化，非常地重要，数组里面存的是自己数组下标的编号就好了。
void init()
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    return;
}
//这是找爹的递归函数，不停地去找爹，直到找到祖宗为止，其实就是去找犯罪团伙的最高领导人，
//“擒贼先擒王”原则。
int getf(int v)
{
    //return f[v] == v ? v : (f[v] = getf(f[v]));//一行代码解决
    if(f[v]==v)
        return v;
    else
    {
        //这里是路径压缩，每次在函数返回的时候，顺带把路上遇到的人的“BOSS”改为最后找
        //到的祖宗编号，也就是犯罪团伙的最高领导人编号。这样可以提高今后找到犯罪团伙的
        //最高领导人（其实就是树的祖先）的速度。
        f[v]=getf(f[v]);//这里进行了路径压缩
        return f[v];
    }
}
//这里是合并两子集合的函数
void merge(int v,int u)
{
    int t1,t2;//t1、t2分别为v和u的大BOSS（首领），每次双方的会谈都必须是各自最高领导人才行
    t1=getf(v);
    t2=getf(u);
    if( t1!=t2 ) //判断两个结点是否在同一个集合中，即是否为同一个祖先。
    {
        f[t2]=t1;
             //“靠左”原则，左边变成右边的BOSS。即把右边的集合，作为左边集合的子集合。
    }
    return;
}   

//请从此处开始阅读程序，从主函数开始阅读程序是一个好习惯。
int main()
{
    int i,x,y;
    scanf("%d %d",&n,&m);   

    init();  //初始化是必须的
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        //开始合并犯罪团伙
        scanf("%d %d",&x,&y);
        merge(x,y);
    }

    //最后扫描有多少个独立的犯罪团伙
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(f[i]==i)
            sum++;
    }
    printf("%d\n",sum);
    getchar();getchar();
    return 0;
}

可以输入以下数据进行验证。第一行n m，n表示强盗的人数，m表示警方搜集到的m条线索。接下来的m行每一行有两个数a和b，表示强盗a和强盗b是同伙。

11 10
1 2
3 4
5 2
4 6
2 6
7 11
8 7
9 7
9 11
1 6
运行结果是：
3

并查集也称为不相交集数据结构。此算法的发展经历了十多年，研究它的人也很多，其中Robert E. Tarjan做出了很大的贡献。在此之前John E. Hopcroft和Jeffrey D. Ullman也进行了大量的分析。你是不是又感觉Robert E. Tarjan和John E. Hopcroft很熟悉？没错，就是发明了深度优先搜索的两个人——1986年的图灵奖得主。你看牛人们从来都不闲着的。他们到处交流，寻找合作伙伴，一起改变世界。