暴力容斥复活之路！

\(k=1\)

这个你肯定会。

\(k=2\)

大的放上去，小的放下来。简单贪心。

\(k=3\)

考虑二分答案。

然后考虑判断是否合法。

令当前答案为 \(val\)。

首先钦定最小值在第一行。

然后枚举最大值在哪一行。

现在我们就确定了两行可以填的数的范围。

剩下一行的选择就出来了。

现在问题是怎么判断剩下一行是否合法。

考虑把是否有一个长度为答案的区间覆盖所有点的问题转变为把每个点 \(x\) 对区间 \([x,x+val]\) 做贡献。

然后看有没有点被贡献了 \(n\) 遍。

但是同一个选择的点会重复贡献。

所以我们直接暴力容斥去除重复贡献。

这里由于值域很小，直接用差分维护。

\(k=4\)

和 \(k=3\) 的做法差不多。

一样的做法，把每个点对一个正方形，然后暴力容斥。

但是问题变成了二维数点。所以离线用线段树维护。

但是被贡献 \(n\) 次的点有 \(V^2\) 种情况，怎么办？

发现被贡献 \(n\) 次的点一定是被贡献最多的点，所以在线段树上维护前缀和极值就可以了。

卡常

上面的做法复杂度是 \(O(k^2 \times 2^k \times n \times \log^{k-2} (n \times 2^k))\)。

那么开始卡常：

大量使用位运算。
记录最大访问到的位置，减少对没有访问的数组的清空。
因为线段树只用维护单点修改，所以使用非递归线段树。

上面是核心的卡常思路，剩下一些小优化就看代码吧（15KB 慎入）。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define max(a,b) (a>b?a:b)

#define min(a,b) (a<b?a:b)

using namespace std;

namespace IO{

    const int SIZE=1<<21;

    static char ibuf[SIZE],obuf[SIZE],*iS,*iT,*oS=obuf,*oT=oS+SIZE-1;

    int qr;

    char qu[55],c;

    bool f;

    #define getchar() (IO::iS==IO::iT?(IO::iT=(IO::iS=IO::ibuf)+fread(IO::ibuf,1,IO::SIZE,stdin),(IO::iS==IO::iT?EOF:*IO::iS++)):*IO::iS++)

    #define putchar(x) *IO::oS++=x,IO::oS==IO::oT?flush():0

    #define flush() fwrite(IO::obuf,1,IO::oS-IO::obuf,stdout),IO::oS=IO::obuf

    #define puts(x) IO::Puts(x)

    template<typename T>

    inline void read(T&x){

        for(f=1,c=getchar();c<48||c>57;c=getchar())f^=c=='-';

        for(x=0;c<=57&&c>=48;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);

        x=f?x:-x;

    }

    template<typename T>

    inline void write(T x){

        if(!x) putchar(48); if(x<0) putchar('-'),x=-x;

        while(x) qu[++qr]=x%10^48,x/=10;

        while(qr) putchar(qu[qr--]);

    }

    inline void Puts(const char*s){

        for(int i=0;s[i];++i)

            putchar(s[i]);

        putchar('\n');

    }

    struct Flusher_{~Flusher_(){flush();}}io_flusher_;

}

using IO::read;

using IO::write;

const int maxk = 5,maxn = 5e4+14,maxv=3e4+10;

int a[maxn][maxk];

int k;

int ans(int j,int n){

    int mx=0,mi=65535;

    for(int i=1;i<=n;++i) mx=max(mx,a[i][j]),mi=min(mi,a[i][j]);

    return mx-mi;

}

vector<int> ch[maxn];//剩下一行可能的选择

int sum[maxv];//差分数组

int n;

int lwx;

inline void add(int l,int r,int val){//差分数组上修改

    r=min(r,maxv-7);

    sum[l]+=val;

    sum[r+1]-=val;

    lwx=max(lwx,r+1);

}

inline void maintain(){//统计差分数组

    for(register int i=1;i<=lwx;i=-~i) sum[i]+=sum[i-1];

}

bool check(int pos,int mx,int mi,int val){//最大值放在第 1 行，最小值放在第 pos 行 k=3 极值为 val 是否合法

    for(register int i=0;i<=lwx;i=-~i) sum[i]=0;

    lwx=0;

    for(register int i=1;i<=n;i=-~i) ch[i].clear();

    int r1=mx,l1=r1-val;

    int l2=mi,r2=l2+val;

    for(register int i=1;i<=n;i=-~i){

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);

        }

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        //转锁调整数组

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);

        }

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);

        }

        if(ch[i].size()==0) return false;

        if(ch[i].size()==1){

            add(ch[i][0],ch[i][0]+val,1);

        }

        else if(ch[i].size()==2){

            add(ch[i][0],ch[i][0]+val,1);

            add(ch[i][1],ch[i][1]+val,1);

            int l=max(ch[i][0],ch[i][1]),r=min(ch[i][0]+val,ch[i][1]+val);

            if(l<=r)

                add(l,r,-1);

            //容斥处理

        }

        else {

            int l=min(ch[i][0],min(ch[i][1],ch[i][2])),r=mx;

            add(l,r,1);

        }

    }

    maintain();

    for(register int i=1;i<=n;i=-~i){

        if(ch[i].size()==0) continue;

        for(register int u:ch[i])

            if(sum[u]==n)//被所有区间包含，也就是区间 [u-val,u] 包含所有点

                return true;

    }

    return false;

}

vector<int> wyb;

int tree[65536+10][2];//sum ans 和：最大前缀和

vector< pair<int,int> > opt[maxn]; //pos:val

int top;

inline void add_p(pair<int,int> A,pair<int,int> B,int val){

    B.first=min(B.first,top);

    B.second=min(B.second,top);

    opt[B.first].push_back(make_pair(B.second,val));

    opt[A.first-1].push_back(make_pair(B.second,-val));

    opt[B.first].push_back(make_pair(A.second-1,-val));

    opt[A.first-1].push_back(make_pair(A.second-1,val));

    wyb.push_back(B.first);

    wyb.push_back(A.first-1);

    //二维差分

}

//值域平移 1

vector< pair<int,int> > chifan[maxn];

bool Check(int pos,int mx,int mi,int val){//最大值放在第 1 行，最小值放在第 pos 行 k=4 极值为 val 是否合法

    for(int u:wyb) opt[u].clear();

    wyb.clear();

    top=mx+2;

    memset(tree,0,sizeof(tree));

    for(register int i=1;i<=n;i=-~i) chifan[i].clear();

    int r1=mx,l1=r1-val;

    int l2=mi,r2=l2+val;

    int last;

    for(register int i=1;i<=n;i=-~i){

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            if(pos==2){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));

            }

            else if(pos==3){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));

            }

            else{

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));

            }

        }

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            if(pos==2){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));

            }

            else if(pos==3){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));

            }

            else{

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));

            }

        }

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            if(pos==2){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));

            }

            else if(pos==3){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));

            }

            else{

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));

            }

        }

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];

        a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];

        if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法

            if(pos==2){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));

            }

            else if(pos==3){

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));

            }

            else{

                chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));

            }

        }

        //下面开始容斥处理贡献

        if(chifan[i].size()==0) return false;

        if(chifan[i].size()==1){

            add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);

        }

        else if(chifan[i].size()==2){

            add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);

            add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);

            pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            //容斥处理

        }

        else if(chifan[i].size()==3){

            add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);

            add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);

            add_p(chifan[i][2],make_pair(chifan[i][2].first+val,chifan[i][2].second+val),1);

            pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][2].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val)));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,1);

        }

        else{

            add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);

            add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);

            add_p(chifan[i][2],make_pair(chifan[i][2].first+val,chifan[i][2].second+val),1);

            add_p(chifan[i][3],make_pair(chifan[i][3].first+val,chifan[i][3].second+val),1);

            pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][2].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][3].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][3].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val)));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,1);

            l=make_pair(max(chifan[i][1].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][1].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][1].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val)));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val)));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][3].second+val)));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,1);

            l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first))),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second)))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val))),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val))));

            if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)

                add_p(l,r,-1);

        }

    }

    for(register int i=top;i>=0;i=-(-~(-~(~(i))))){

        if(opt[i].size()==0) continue;

        for(pair<int,int> u:opt[i]){

            int x=u.first+32768;

            tree[x][0]+=u.second;

            tree[x][1]+=u.second;

            x>>=1;

            while(x!=0){

                tree[x][0]=tree[x<<1][0]+tree[x<<1|1][0];

                tree[x][1]=min(tree[x<<1][1],tree[x<<1][0]+tree[x<<1|1][1]);

                x>>=1;

            }

        }

        if(tree[1][0]-tree[1][1]>=n) return true;

    }

    return false;

}

void work(){

    read(n);

    int mx=0,mi=maxv;

    for(register int i=1;i<=k;++i){

        for(register int j=1;j<=n;++j){

            read(a[j][i]);

            mx=max(mx,a[j][i]);

            mi=min(mi,a[j][i]);

        }

    }

    if(k==1){

        write(ans(1,n));

        putchar('\n');

    }

    else if(k==2){

        for(register int i=1;i<=n;++i){

            if(a[i][1]<a[i][2]) swap(a[i][1],a[i][2]);

        }

        write(max(ans(1,n),ans(2,n)));

        putchar('\n');

    }

    else if(k==3){

        int l=-1,r=(mx-mi);

        while(l+1<r){

            int mid=(l+r)>>1;

            if(check(2,mx,mi,mid)==true||check(3,mx,mi,mid)==true){

                r=mid;

            }

            else{

                l=mid;

            }

        }

        write(r);

        putchar('\n');

    }

    else{

        int l=-1,r=(mx-mi);

        while(l+1<r){

            int mid=(l+r)>>1;

            if(Check(4,mx,mi,mid)==true||Check(3,mx,mi,mid)==true||Check(2,mx,mi,mid)==true){

                r=mid;

            }

            else{

                l=mid;

            }

        }

        write(r);

        putchar('\n');

    }

    return ;

}

signed main(){

    int t;

    read(t);

    read(k);

    while(t--) work();

}

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