C#数据结构与算法系列（十七）：时间复杂度（下）

1.常见的时间复杂度

常数阶：O(1)

对数阶：O(log₂n)

线性阶：O(n)

线性对数阶：O(nlog₂n)

平方阶：O(n^2)

立方阶：O(n^3)

k次方阶：O(2^n)

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log₂n)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2ⁿ) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

1.常数阶：O(1)

无论代码执行多少行，只要是没有循环结构等复杂结构，那这个代码的时间复杂度都是O(1)

            int i = 1;

            int j = 1;

            i++;

            ++j;

            int m = i + j;

 上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2.对数阶：O(log₂n)

            int i = 0;

            while (i<n)
            {
                i = i * 2;
            }

说明：

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，

此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。

因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)  。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

3.线性阶：O(n)

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                j = i;

                j++;
            }

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

4.线性对数阶：O(nlogN)

            int i = 1;

            for (int m = 0; m < n; m++)
            {
                while (i<n)
                {
                    i = i * 2;
                }
            }

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5.平方阶：O(n²)

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    k = i;

                    k++;

                }
            }

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，

它的时间复杂度就是 O(n*n)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

2.平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1)    平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2)    最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)    平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

3.空间复杂度

1)     类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2)     空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3)     在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.