[ARC156D] Xor Sum 5

Problem Statement

You are given a sequence of $N$ non-negative integers $A=(A_1,A_2,\dots,A_N)$ and a positive integer $K$.

Find the bitwise $\mathrm{XOR}$ of $\displaystyle \sum_{i=1}^{K} A_{X_i}$ over all $N^K$ sequences of $K$ positive integer sequences $X=(X_1,X_2,\dots,X_K)$ such that $1 \leq X_i \leq N\ (1\leq i \leq K)$.

What is bitwise $\mathrm{XOR}$?

The bitwise $\mathrm{XOR}$ of non-negative integers $A$ and $B$, $A \oplus B$, is defined as follows:

• When $A \oplus B$ is written in base two, the digit in the $2^k$'s place ($k \geq 0$) is $1$ if exactly one of the digits in that place of $A$ and $B$ is $1$, and $0$ otherwise.

For example, we have $3 \oplus 5 = 6$ (in base two: $011 \oplus 101 = 110$).

Generally, the bitwise $\mathrm{XOR}$ of $k$ non-negative integers $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$ is defined as $(\dots ((p_1 \oplus p_2) \oplus p_3) \oplus \dots \oplus p_k)$. We can prove that this value does not depend on the order of $p_1, p_2, p_3, \dots, p_k$.

Constraints

• $1 \leq N \leq 1000$
• $1 \leq K \leq 10^{12}$
• $0 \leq A_i \leq 1000$
• All values in the input are integers.

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Input

The input is given from Standard Input in the following format:

$N$ $K$
$A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_N$

Output

Print the answer.

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Sample Input 1

2 2
10 30

Sample Output 1

40

There are four sequences to consider: $(X_1,X_2)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$, for which $A_{X_1}+A_{X_2}$ is $20,40,40,60$, respectively. Thus, the answer is $20 \oplus 40 \oplus 40 \oplus 60=40$.

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Sample Input 2

4 10
0 0 0 0

Sample Output 2

0

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Sample Input 3

11 998244353
314 159 265 358 979 323 846 264 338 327 950

Sample Output 3

236500026047

看着样例，会发现根据异或的性质，很多情况都会被约掉。

那么推一波生成函数，最终 \(S\) 是否有有贡献，就要看 \([x^S](\sum\limits_{i=1}^nx^{a_i})^K\) 为奇数还是偶数。

\((x_1+x_2+\cdots+x_n)^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+2(\cdots)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\)，

同理，\((x_1+x_2+\cdots+x_n)^{2^k}=x_1^{2^k}+x_2^{2^k}+\cdots+x_n^{2^k}\)

可以对 \(K\) 进行二进制分解后套入这个式子，然后考虑他的实际意义。此时将 \(K\) 拆为 \(2^{k_1}+2^{k_2}+\cdots+2^{k_n}\)，那么将题目改为如果将 \(K\) 个数分成很多段，每一段的长度都是2的正整数幂，且填一样的数，答案不变。

这个结论也有感性的理解方式。可以通过二进制分组的方式，给所有不满足这个要求的序列某两个数交换一下，和不变，异或和消掉。所有不满足要求的序列都能一一对应上。

所以知道这个后，可以数位 dp。定义 \(dp_{i,j}\) 为考虑到第 \(i\) 位，目前所有进位+填入的 \(a\) 的和为 \(j\) 的方案数。如果 \(i\) 是 \(K\) 二进制分组后的部分，那么就可以枚举新选什么数。同时统计答案时，注意到这里真正的方案数要乘上 \(n\) 的一个次方，所以如果 \(n\) 为奇数或者这里是 \(K\) 的最大的一个二进制位时，才会统计入答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4005;
long long k,ans;
int n,a[N],dp[55][N];
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",a+i);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=50;i++)
	{
		for(int j=0;j<1024;j++)
		{
			if(!dp[i][j])
				continue;
			if(k>>i&1)
			{
				for(int p=1;p<=n;p++)
				{
					if((j+a[p]&1)&&(n&1||(1LL<<i+1)>k))
						ans^=1LL<<i;
					dp[i+1][j+a[p]>>1]^=1;
				}
			}
			else
			{
				if((j&1)&&(n&1||(1LL<<(i+1))>k))
					ans^=1LL<<i;
				dp[i+1][j>>1]^=1;
			}
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}