Fourier分析基础（二）——由级数导出连续Fourier变换

此处推导参考（照抄） A First Course in Wavelets with Fourier Analysis Second Edition, Albert Boggess& Francis J.Narcowich

由傅立叶级数推广到傅立叶变换只需要一步——求一个极限。

当趋近于正无穷的时候，整个傅立叶级数逆变换（或者叫还原）就成为一个积分，此时正向求参数数列的式子天然是个积分，只不过此时随着趋近于正无穷，从数列变为函数，我们管它叫频谱，一般记作。

首先考虑定义在上的的傅立叶级数：

其中：

代入：

注意，我们不妨把后面的指数的一堆塞进去：

然后稍微随便求个极限：

这个时候定义，

这个时候注意一个地方，就是在发生的时候，趋近于0，这个序列的密度在逐渐变大，最后成为连续的一个函数，而且，不论怎么变化，乘以的个数总是等于整个实轴的测度。

好了，那么让我么带进去吧：

进一步计算得到：

这个时候，已经从一个等差数列变成了R，使用一个连续变量称呼它更合适，叫好了，俗称频率。为了数学上的对称美，把公式改成这样：

括号里面的部分：，称之为：

这就是傅立叶正变换。

而从再变回（或者叫都行，就是换个变量），称之为傅立叶逆变换：

正变换和逆变换差一个指数上的负号，它们必须是共轭的，除此以外，没有任何限制，你完全可以吧正变换当逆变换，逆变换当正变换，效果是一样的，得到的频域函数会稍有不同。而称之为傅立叶核。傅立叶为什么是这个核？主要是因为其具有良好的正交特性，如果有其他函数满足这样的特性，也可以做核。

在实际的数值计算中，我们并不要求函数具有统一的表达式，这个时候可使用Gram-Schmidt方法构造正交函数组进行分解。