You have a total of n coins that you want to form in a staircase shape, where every k-th row must have exactly k coins.

Given n, find the total number of full staircase rows that can be formed.

n is a non-negative integer and fits within the range of a 32-bit signed integer.

Example 1:

n = 5

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤ Because the 3rd row is incomplete, we return 2.

Example 2:

n = 8

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤
¤ ¤ Because the 4th row is incomplete, we return 3.

首先理解题目的意思

给出一个数N,然后利用这个数去排列。

每行尽可能排满,第一行1个,第二行2个。。。。

返回排满的行数

首先列出看的见的等式。

(1+x)*x/2 + r = n;

其中x为最后有多少行,r为最后返回的结果,n为给出的数据。

//然后我们就把这个问题转换成了一个数学问题

也就是我们要计算出一个x要满足等式成立的情况下r最小。

如何找到这个x呢?

1、首先最简单的解法,枚举所有的x,直到r为负数为止,前一个x就是满足条件的。

所以最后的复杂度肯定是x+1,x为最终成立的行数,x为需要返回的结果。

还有更快的方法吗?

我的想法是,当r为0时,x可以从sqrt(n*2)向下取整,然后从这个数,按照方法1往上找。这个是n最大的情况

当r为x-1时,也就是n最小的情况。按照上面的方法也没错,因为这个数小,所以往上找也是可以的。

public class Solution {
public int arrangeCoins(int n) {
int x = (int) Math.floor(Math.sqrt(n*1.0));
int r = 0;
while (true){
if(x%2 == 0)
r = x / 2 * (1+x);
else
r = (1+x) / 2 * x;
if(n - r < 0)
break;
else
x++;
}
return --x;
}
}

其中要注意的是x的值过大时先要计算除法不然两个数相乘超过int就会出现一个极小数会影响判断。

当然还有更牛逼的方法

先不管r是多少,当做r是0,先利用解方程的方法n计算出来一个x

然后对这个x往小了取整数就可以了。

public class Solution {
public int arrangeCoins(int n) {
/* 数学推导
(1+k)*k/2 = n
k+k*k = 2*n
k*k + k + 0.25 = 2*n + 0.25
(k + 0.5) ^ 2 = 2*n +0.25
k + 0.5 = sqrt(2*n + 0.25)
k = sqrt(2*n + 0.25) - 0.5
*/
return (int) (Math.sqrt(2*(long)n+0.25) - 0.5);
}
}

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