luogu CF125E MST Company wqs二分 构造

LINK：CF125E MST Company

难点在于构造 前面说到了求最小值 可以二分出斜率k然后进行\(Kruskal\) 然后可以得到最小值。\(mx\)为值域.

得到最小值之后还有一个构造问题 值得注意的是虽然得到的权值是最小的 也是合法的 但是此时拿到的边不一定合法。

出现这种情况的原因是最小生成树的边的权值相等了 所以白边有限那么久多余了。

实际上可以构造出了的。

考虑如何构造：

第一种是考虑最小k度生成树的做法。先将除1以外的联通块做一下。然后不断加边。

加成一颗树的时候如果不满足k度 那么再次加边 在边形成的这个环中找到除了和1相连的最大边 然后在所有的边中选取影响最小的。

一直重复是的1的度数为k.每次暴力dfs预处理一下. 复杂度\(n\cdot k+mlogm\)

值得一提的是这个做法脱离了Wqs二分 比较暴力 但是是一个比较经典的做法。

第二种是直接替换法。

二分得到ans之后 所有和1相连的边加上ans 此时可能1的度数cnt>k.

考虑利用其他边来替换和1相连的那些边 如果一条边的权值和1相连的某条边权值相同 且分属不同子树中就可以替换。

复杂度\(nlogmx+nlogn+mlogm\)复杂度算是比较优秀 正确性可以确保。

第三种是直接构造法。

还是分析本质原因 边之间的替换问题。

一个比较重要的结论是最小生成树的边的权值个数是一定的。

也就是前轮到某个权值 这种权值数量一定。同时可以得到当进行到某一种权值的时候 树的形态也是一定的。可以考虑利用权值分层处理构造。

设w[x]表示比x大的权值的和1相连的边最多的个数。

那么当前拿和1相连的边的个数就知道了 直接拿就行了 拿够了就拿其他的边 保证了后续是一定是满足的。

复杂度\(mlogm+nlogmx\)

第三种比较繁琐 第一种不够优秀 所以使用的是第二种方法。

code

//#include<bits\stdc++.h>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000000
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gc(a) scanf("%s",a+1)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-8
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
    return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
    RE int x=0,f=1;RE char ch=getc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
    return x*f;
}
const int MAXN=100010,maxn=5010;
int n,m,k,cnt1,cnt2,cnt,ans,len;
int f[maxn];set<int>s;
int lin[maxn],ver[maxn<<1],nex[maxn<<1],e[maxn<<1],v[maxn],e1[maxn],b[maxn];
inline void add(int x,int y,int z,int z1)
{
	ver[++len]=y;nex[len]=lin[x];lin[x]=len;e1[len]=z1;e[len]=z;
	ver[++len]=x;nex[len]=lin[y];lin[y]=len;e1[len]=z1;e[len]=z;
	s.insert(z1);
}
struct wy
{
	int x,y,z,id;
	inline bool friend operator <(wy a,wy b){return a.z<b.z;}
}t[maxn],w[maxn],tmp1[MAXN],tmp2[MAXN];
inline int getfather(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getfather(f[x]);}
inline bool merge(int x,int y)
{
	int xx=getfather(x);
	int yy=getfather(y);
	if(xx==yy)return 0;
	f[xx]=yy;return 1;
}
inline void dfs(int x,int fa)
{
	f[x]=fa;
	go(x)if(tn!=fa)dfs(tn,x);
}
inline int check(int x)
{
	ans=cnt=0;int i=1,j=1;
	rep(1,n,i)f[i]=i;
	rep(1,cnt1+cnt2,T)
	{
		if(i<=cnt1&&j<=cnt2)
		{
			if(t[i].z+x<=w[j].z){if(merge(t[i].x,t[i].y))ans+=t[i].z+x,++cnt;++i;}
			else {if(merge(w[j].x,w[j].y))ans+=w[j].z;++j;}
			continue;
		}
		if(i<=cnt1){if(merge(t[i].x,t[i].y))ans+=t[i].z+x,++cnt;++i;}
		else {if(merge(w[j].x,w[j].y))ans+=w[j].z;++j;}
	}
	return cnt>=k;
}
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(m);get(k);
	rep(1,n,i)f[i]=i;int cc=0;
	rep(1,m,i)
	{
		int get(x),get(y),get(z);
		if(x==1||y==1)tmp1[++cnt1]=(wy){x,y,z,i};
		else tmp2[++cnt2]=(wy){x,y,z,i};
		if(merge(x,y))++cc;
	}
	if(cc!=n-1){puts("-1");return 0;}
	sort(tmp1+1,tmp1+1+cnt1);
	sort(tmp2+1,tmp2+1+cnt2);
	rep(1,n,i)f[i]=i;cc=0;
	rep(1,cnt1,i)if(merge(tmp1[i].x,tmp1[i].y))t[++cc]=tmp1[i];
	rep(1,n,i)f[i]=i;cnt1=cc;cc=0;
	rep(1,cnt2,i)if(merge(tmp2[i].x,tmp2[i].y))w[++cc]=tmp2[i];
	cnt2=cc;int l=-100000,r=100000;
	if(!check(l)){puts("-1");return 0;}
	check(r);if(cnt>k){puts("-1");return 0;}
	while(l+1<r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid;
	}
	if(check(r))l=r;
	rep(1,cnt1,i)t[i].z+=l;
	rep(1,n,i)f[i]=i;ans=cnt=0;int i=1,j=1;
	rep(1,cnt1+cnt2,T)
	{
		if(i<=cnt1&&j<=cnt2)
		{
			if(t[i].z<=w[j].z){if(merge(t[i].x,t[i].y))ans+=t[i].z,add(t[i].x,t[i].y,t[i].z,t[i].id),++cnt;++i;}
			else {if(merge(w[j].x,w[j].y))ans+=w[j].z,add(w[j].x,w[j].y,w[j].z,w[j].id);++j;}
			continue;
		}
		if(i<=cnt1){if(merge(t[i].x,t[i].y))ans+=t[i].z,add(t[i].x,t[i].y,t[i].z,t[i].id),++cnt;++i;}
		else {if(merge(w[j].x,w[j].y))ans+=w[j].z,add(w[j].x,w[j].y,w[j].z,w[j].id);++j;}
	}
	put(n-1);
	go(1)
	{
		dfs(tn,1);
		f[tn]=tn;
		b[tn]=e1[i];
		v[tn]=e[i];
	}
	for(int i=1;i<=cnt2;++i)
	{
		if(cnt==k)break;
		int xx=getfather(w[i].x);
		int yy=getfather(w[i].y);
		if(xx==yy)continue;
		if(v[xx]==w[i].z)
		{
			f[xx]=yy;
			s.erase(b[xx]);
			s.insert(w[i].id);
			--cnt;
			continue;
		}
		if(v[yy]==w[i].z)
		{
			f[yy]=xx;
			s.erase(b[yy]);
			s.insert(w[i].id);
			--cnt;
		}
	}
	for(set<int>::iterator it=s.begin();it!=s.end();++it)printf("%d ",*it);
	return 0;
}
</details>