Codeforces Round #546 C. Nastya Is Transposing Matrices

题面：

传送门

题目描述：

给出两个n x m的矩阵A，B。矩阵A可以把正方子矩阵进行“转置操作”，问：可不可以对矩阵A进行多次这样的操作，使矩阵A变为矩阵B？

 

题目分析：

这道题是一道水题，但是我一时脑子瓦特了，看了题解也有点懵，看了代码才突然想明白的，所以特地来写一下博客。

 

首先，我们可以发现：

矩阵里面的一个元素可以通过多次转置转移到其他地方，其他的对应元素也会相应发生变化。所以，这个变换过程会很复杂。如果直接去暴力模拟的话，矩阵里面有500*500个元素，遍历一遍就要1e5的时间了，暴力是肯定不行的。这时，我们仍分析变化的东西会变得更为复杂，所以关键是找不变的东西，那怎么找呢？可以看一下样例：由于样例1，2太简单了，我们就不去分析它们。我们看看样例3：

这里我们很容易发现：变化之后的数字要么就是原来的位置，要么就是关于主对角线对称的位置。那是不是巧合呢？的确是巧合，我们可以找出这样的反例：当矩阵A不变，矩阵B为这样时：

1  4  5

2  7  6

3  8  9

其实这个矩阵B就是上右方的那个矩阵B的2*2子矩阵转置一下，但这个转置后的矩阵B显然不符合刚刚我们推出的规律。

所以我们要继续思考：

既然是要在变化中找不变的规律，我们肯定要找变化的元素，然后看它们的属性，找出不变量，拿上述矩阵的数字7作为例子看看：

在矩阵A中，他的位置是第3行，第1列。而在新的矩阵B中，7的位置在第2行，第2列。我们发现了：3+1 == 2+2

这似乎就是我们要找的答案了：转置后，元素的行列之和不变。那为什么会这样呢？我们进一步的想：在转置的过程中，我们是通过主对角线来进行转置的，示意图（红色的块转置后变成绿色的块）：

再进一步，是这样进行转置的：

我们沿着反对角线，从红色的方块走到绿色的方块：

先从红色的方块走到黄色的方块：行-1，列+1

同理，走到绿色的方块时：行-3，列+3，刚刚好行列增量抵消掉了。

即：所有元素都可以沿着的反对角线走，从而使自己的行列之和不变。

所以，要判断矩阵A是否能变成矩阵B，只需要判断：行列之和相同时，两个矩阵包含的元素相同就可以了（这里有多种写法，能达到这个目的就可以了）。

 

 

AC代码（vector版本）：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <vector>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int n, m, A, B;
 6 vector<int> a[1005], b[1005];
 7
 8 int main(){
 9     scanf("%d%d", &n, &m);
10     for(int i = 0; i < n; i++){
11         for(int j = 0; j < m; j++){
12             scanf("%d", &A);
13             a[i+j].push_back(A);  //将行列之和相同的元素加入到同一组
14         }
15     }
16     for(int i = 0; i < n; i++){
17         for(int j = 0; j < m; j++){
18             scanf("%d", &B);
19             b[i+j].push_back(B);
20         }
21     }
22
23     for(int i = 0; i < n+m; i++){
24         //排序，方便下面判断
25         sort(a[i].begin(), a[i].end());
26         sort(b[i].begin(), b[i].end());
27
28         if(a[i] != b[i]){  //判断：行列之和相同时，两个矩阵包含的元素是否相同
29             printf("NO\n");
30             return 0;
31         }
32     }
33     printf("YES\n");
34     return 0;
35 }