PDF的来源——概率密度函数

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你不会还真的以为这是一篇讲怎么做pdf文件，怎么编辑、保存、美化的文章吧？

咳咳，很遗憾告诉你不是。

这是因为小编昨天正好看到了这样一幅图，所以想吟诗一首写一篇博客。

前置知识

• 随随便便有点微积分基础
• 至少要知道函数，概率是什么吧……
• 能看得懂中国文字
  
  好的，现在假定你们已经有了这些基础，那么接下来进入正文。

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不过限于小编只有初中能力（现在才刚中考完），所以现阶段所不涉及的内容一律以定义形式详细说明。

随机变量

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。 ^[1] 

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

（copy自百度百科）

上面那一坨没有什么用，只是用来凑字数的……

在学习函数时，首先提到的就是自变量和因变量，变量是什么，想必你一定很清楚。

随机变量就是在变量的基础上，增加了随机性，通常谈到随机变量就会想到概率。

例如一个骰子，随机投掷后向上的点数，就是一个随机变量。

而通常的变量是任意的，例如随随便便画的二次函数，自变量x就不需要随机。

1）离散型随机变量

在高中时学概率那一块的时候，会提到各种东西（例如分布列之类的，让你去求），但是，高中阶段通常研究的都是离散型随机变量。

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

（copy自百度百科）

离散型随机变量最大的特点就在于它有有限个可以取到的值。

例如我现在去一个有五棵苹果的苹果树上摘苹果，由于爬树需要做很多功，所以我就郑重的决定一板砖看看能拍下来几个。



这么直观的一看就知道，我打下来的数目取值为0，1，2，3，4，5，显然这些取值是有限的，我可以完全枚举出来。再例如掷骰子，向上的点数就是离散型随机变量，取值只有1，2，3，4，5，6。

2）连续型随机变量

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

连续型随机变量与之不同，它不能准确的找到每一个可能的取值，通常找到的就是一个区间。

例如这里有500mL的水，我只喝一口（不清楚我的嘴有多大），还剩下多少水？

你可以尝试一下枚举剩余水量这一变量的所有可以取到的值，我相信你枚举不完的，除非你还停留在幼儿园大班，不清楚有小数这种东西的存在。

3）分布函数

例如一次考试，我们往往更关心的是及格率{x>=及格线}，优秀率{x>=优秀线}之类的。

假设及格线是60分，那么及格率表述为P{x>=60}，假如一共有100人参加了考试，80人及格，那么及格率P{x>=60}=80/100=4/5。

所谓的分布函数就是F(x)=P{X>=60}。（60可以依据情况换做任意常数C，其表示的就是落在区间(-∞,C]的概率）

只要知道了分布函数，那么就掌握了这一事件随机变量的统计规律，可以快速知道任意区间的概率。

例如我想知道(x1,x2]的概率，那么类似于前缀和的算法，只要用F(x2)-F(x1)就可以快速得到。

概率密度函数

对于连续型随机变量的分布函数，它是连续可导的。

对其的一阶导数，称之为概率密度函数f(x)。（若没有接触过微积分，可认为是分布函数每个点处瞬间变化率所组成的函数）

由于微分和积分互为逆运算，所以落在某区间的概率就是这个概率密度函数在这个区间的积分。所以通常直接用概率密度没有什么实际意义，往往使用的就是它在某区域的积分