【数论】HAOI2012 容易题

题目大意

洛谷链接

有一个数列A已知对于所有的\(A[i]\)都是\(1~n\)的自然数，并且知道对于一些\(A[i]\)不能取哪些值，我们定义一个数列的积为该数列所有元素的乘积，要求你求出所有可能的数列的积的和 \(mod\ 1000000007\)的值。

输入格式

第一行三个整数\(n,m,k\)分别表示数列元素的取值范围，数列元素个数，以及已知的限制条数。

接下来\(k\)行，每行两个正整数\(x,y\)表示\(A[x]\)的值不能是\(y\)。

输出格式

一行一个整数表示所有可能的数列的积的和对\(1000000007\)取模后的结果。如果一个合法的数列都没有，答案输出\(0\)。

样例输入

3 4 5

1 1

1 1

2 2

2 3

4 3

样例输出

90

样例解释

\(A[1]\)不能取\(1\)

\(A[2]\)不能取\(2、3\)

\(A[4]\)能取\(3\)

所以可能的数列有以下\(12\)种

第一行为数列

第二行为积

2 1 1 1

2

2 1 1 2

4

2 1 2 1

4

2 1 2 2

8

2 1 3 1

6

2 1 3 2

12

3 1 1 1

3

3 1 1 2

6

3 1 2 1

6

3 1 2 2

12

3 1 3 1

9

3 1 3 2

18

思路

从一般到特殊，如果没有不能选的限制，因为每个元素可以把范围内每个数取到，可以得到结果是：

\(( \sum_{1\le k\le n}k)^m\)

然而题目中提到有些元素的有些取值取不到，那么对应的元素的总价值把这些取值都减去再乘进去就可以了。剩下的没有动的元素直接累乘，注意要用到快速幂。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+5;
const long long mod=1e9+7;
map<pair<ll,ll>,ll> a;//学lc大佬用的pair...其实用结构体也可
map<ll,ll> b;
ll n,m,k,cnt;
ll vis[maxn];

ll qpow(ll now,ll x){//快速幂的板子
    ll vis=now%mod,res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res*=(vis%mod);
            res%=mod;
        }
        vis*=(vis%mod);
        vis%=mod;
        x>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    ll sum=(n+1)*n/2;

    for(ll i=1;i<=k;i++){
        ll x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        if(!b[x])vis[++cnt]=x;
        if(a[make_pair(x,y)])continue;//样例给出了重复限制，所以记一下
        a[make_pair(x,y)]=1;
        b[x]+=y;//记录限制的总和
    }

    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=cnt;i++){
        ans*=(sum-b[vis[i]])%mod;
	    ans%=mod;
    }

    printf("%lld\n",((ans%mod)*qpow(sum,m-cnt)%mod)%mod);
    return 0;
}