水题挑战2 :NOIP提高组 2011 聪明的质监员
小T 是一名质量监督员,最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石,从\(1\) 到 \(n\) 逐一编号,每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是:
1 、给定 \(m\)个区间 \([l_i,r_i]\)
2 、选出一个参数 \(W\);
3 、对于一个区间 \([l_i,r_i]\),计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\):
\(y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j\)
其中 \(j\) 为矿石编号。
这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即:\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)
若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多,就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产,所以他想通过调整参数 WW 的值,让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\),即使得 \(|s-y|\)最小。请你帮忙求出这个最小值。
输入格式
第一行包含三个整数 \(n,m,s\),分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。
接下来的 \(n\) 行,每行两个整数,中间用空格隔开,第 \(i+1\)行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\)和价值 \(v_i\)
接下来的 \(m\) 行,表示区间,每行两个整数,中间用空格隔开,第 \(i+n+1\)行表示区间 \([l_i,r_i]\)的两个端点 \(l_i\) 和 \(r_i\) 。注意:不同区间可能重合或相互重叠。
输出格式
一个整数,表示所求的最小值。
输入输出样例
输入 #1
5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
输出 #1 10
说明/提示
【输入输出样例说明】
当 \(W\)选 \(4\) 的时候,三个区间上检验值分别为 \(20,5 ,0\) ,这批矿产的检验结果为 \(25\),此时与标准值 \(S\) 相差最小为 \(10\)。
【数据范围】
对于 \(10\%\)的数据,有 \(1 ≤n ,m≤10\);
对于 \(30\%\)的数据,有 \(1 ≤n ,m≤500\);
对于 \(50\%\)的数据,有 \(1 ≤n ,m≤5,000\);
对于 \(70\%\)的数据,有 \(1 ≤n ,m≤10,000\) ;
对于 \(100\%\) 的数据,有 \(1 ≤n ,m≤200,000\),\(0 < w_i,v_i≤10^6\),\(0 < s≤10^{12}\),\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\).
SOLUTION
首先,我们要发现一个性质:
我们发现,如果\(W\)越小,答案就会越大。
总的来说,答案与\(W\)具有单调性。
证明:当\(W\)越小,大于等于\(W\)的个数就越多,价值和就越大,即前半个式子和后半个式子均越大,答案就越大
然后我们发现题目让我们求\(max(|ans-s|)\)的最小值。
是不是有点二分的味道?
于是乎,我们二分\(W\),再带入每个区间计算答案,如果答案比\(s\)大,就证明\(W\)小了,答案比\(s\)小,就证明\(W\)大了。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
template <class T> void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
const int N=2e5+4;
typedef long long ll;
int n,m;ll s;
struct Stone{
ll w,v;
bool operator<(const Stone &rhs)const{
return w<rhs.w;
}
}st[N];
struct Area{
int l,r;
bool operator<(const Area &rhs)const{
if(r!=rhs.r) return r>rhs.r;
else return l<rhs.l;
}
}a[N];
ll b[N],V[N];
int main(){
g(n),g(m),g(s);ll mx=0,mn=1e9;
rep(i,1,n) g(st[i].w),g(st[i].v),mx=max(mx,st[i].w),mn=min(mn,st[i].w);
rep(i,1,m) g(a[i].l),g(a[i].r);
ll L=0,R=mx+2;
ll ans=1e19;
while(L<R){
ll mid=L+R>>1,S=0;
rep(i,1,n){
if(st[i].w>=mid) V[i]=V[i-1]+st[i].v,b[i]=b[i-1]+1;
else V[i]=V[i-1],b[i]=b[i-1];
}
rep(i,1,m){
S+=(b[a[i].r]-b[a[i].l-1])*(V[a[i].r]-V[a[i].l-1]);
}
ans=min(ans,abs(s-S));
if(s==S){ans=0; break;}
if(S<s) R=mid;
else L=mid+1;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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