水题挑战2 ：NOIP提高组 2011 聪明的质监员

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从\(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：

1 、给定 \(m\)个区间 \([l_i,r_i]\)

2 、选出一个参数 \(W\)；

3 、对于一个区间 \([l_i,r_i]\)，计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\)：

\(y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j\)

其中 \(j\) 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 WW 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\)最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n,m,s\)，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 \(n\) 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+1\)行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\)和价值 \(v_i\)

接下来的 \(m\) 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+n+1\)行表示区间 \([l_i,r_i]\)的两个端点 \(l_i\) 和 \(r_i\) 。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

输入输出样例

输入 #1

5 3 15

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

1 5

2 4

3 3

输出 #1 10

说明/提示

【输入输出样例说明】

当 \(W\)选 \(4\) 的时候，三个区间上检验值分别为 \(20,5 ,0\) ，这批矿产的检验结果为 \(25\)，此时与标准值 \(S\) 相差最小为 \(10\)。

【数据范围】

对于 \(10\%\)的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10\)；

对于 \(30\%\)的数据，有 \(1 ≤n ,m≤500\)；

对于 \(50\%\)的数据，有 \(1 ≤n ,m≤5,000\)；

对于 \(70\%\)的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10,000\) ；

对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤200,000\)，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\).

SOLUTION

首先，我们要发现一个性质：

我们发现，如果\(W\)越小，答案就会越大。

总的来说，答案与\(W\)具有单调性。

证明：当\(W\)越小，大于等于\(W\)的个数就越多，价值和就越大，即前半个式子和后半个式子均越大，答案就越大

然后我们发现题目让我们求\(max(|ans-s|)\)的最小值。

是不是有点二分的味道？

于是乎，我们二分\(W\)，再带入每个区间计算答案，如果答案比\(s\)大，就证明\(W\)小了，答案比\(s\)小，就证明\(W\)大了。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
template <class T> void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
const int N=2e5+4;
typedef long long ll;
int n,m;ll s;
struct Stone{
	ll w,v;
	bool operator<(const Stone &rhs)const{
		return w<rhs.w;
	}
}st[N];
struct Area{
	int l,r;
	bool operator<(const Area &rhs)const{
		if(r!=rhs.r) return r>rhs.r;
		else return l<rhs.l;
	}
}a[N];
ll b[N],V[N];
int main(){
	g(n),g(m),g(s);ll mx=0,mn=1e9;
	rep(i,1,n) 	g(st[i].w),g(st[i].v),mx=max(mx,st[i].w),mn=min(mn,st[i].w);
	rep(i,1,m) g(a[i].l),g(a[i].r);
	ll L=0,R=mx+2;
	ll ans=1e19;
	while(L<R){
		ll mid=L+R>>1,S=0;
		rep(i,1,n){
			if(st[i].w>=mid) V[i]=V[i-1]+st[i].v,b[i]=b[i-1]+1;
			else V[i]=V[i-1],b[i]=b[i-1];
		}
		rep(i,1,m){
			S+=(b[a[i].r]-b[a[i].l-1])*(V[a[i].r]-V[a[i].l-1]);
		}
		ans=min(ans,abs(s-S));
		if(s==S){ans=0; break;}
		if(S<s) R=mid;
		else L=mid+1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}