bzoj 3202: [Sdoi2013]项链

Description

项链是人体的装饰品之一，是最早出现的首饰。项链除了具有装饰功能之外，有些项 链还具有特殊显示作用，如天主教徒的十字架
链和佛教徒的念珠。 从古至今人们为了美化人体本身，也美 化环境，制造了各种不同风格，不同特点、不同式样的项链，满足了不同肤色、不同民族、不同审美观的人的审美需要。就材料而论，首
饰市场上的项链有黄金、白银、珠宝等几种。珍珠项链为珍珠制成的饰品，即将珍珠 钻孔后用线串在一起，佩戴于项间。天然珍珠项链具有一定的护养作用。 
  
最近，铭铭迷恋上了一种项链。与其他珍珠项链基本上相同，不过这种项链的珠子却 与众不同，是正三菱柱的泰山石雕刻而成的。三菱柱的侧面是正方形构成的，上面刻有数字。 能够让铭铭满意的项链必须满足下面的条件： 
1：这串项链由n颗珠子构成的。 
2：每一个珠子上面的数字x,必须满足0<x<=a，且珠子上面的数字的最大公约数要恰 好为1。两个珠子被认为是相同的，当且仅当他们经过旋转，或者翻转后能够变成一样的。 3：相邻的两个珠子必须不同。 
4：两串项链如果能够经过旋转变成一样的，那么这两串项链就是相同的！ 铭铭很好奇如果给定n和a，能够找到多少不同串项链。由于答案可能很大，所以对输 出的答案mod 1000000007。

Input

数据由多组数据构成： 
第一行给定一个T<=10，代表由T组数据。 
接下来T行，每行两个数n和a。 
 

Output

对于每组数据输出有多少不同的串。

Sample Input

1 
2 2

Sample Output

3

HINT

对于100%的数据：所有的n<=10^14，a<=10^7，T<=10；

样例解释：由三种珠子：[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2].组成的串有：[1,2],[1,3],[2,3]。

Source

Dragonite修正数据 vfleaking加强数据

有一篇超级详细的题解，所以我就不说了

啊涨姿势了学会了7k+的$O(1)$快速乘

inline LL mul(LL x,LL y)
{
　　LL tmp=(x*y-(LL)((LD)x/Mod*y+1.0e-8)*Mod);
　　return tmp< ? tmp+Mod : tmp;
}

code：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #define LL long long
 #define LD long double
 using namespace std;
 const LL Maxn = ;
 LL Modd = , Mod;
 LL n, m;
 LL mu[Maxn], pr[Maxn], pl, muu[Maxn], ph[Maxn];
 bool v[Maxn], bk;
 LL mul ( LL x, LL y ){
     if ( bk == true ){
         LL ret = , op = ;
         if ( x <  ){ x = -x; op = -op; }
         while (x){
             if ( x &  ) ret = (ret+y)%Mod;
             y = (y<<)%Mod;
             x >>= ;
         }
         return ret*op;
     }
     else {
         LL tmp=(x*y-(LL)((LD)x/Mod*y+1.0e-8)*Mod);
         return tmp< ? tmp+Mod : tmp;
     }
 }
 /*inline LL mul(LL x,LL y)
 {
 LL tmp=(x*y-(LL)((LD)x/Mod*y+1.0e-8)*Mod);
 return tmp<0 ? tmp+Mod : tmp;
 }*/
 void init (){
     pl = ;
     LL i, j; mu[] = muu[] = ph[] = ;
     for ( i = ; i <= ; i ++ ){
         if ( v[i] == false ){
             pr[++pl] = i;
             mu[i] = -;
             ph[i] = i-;
         }
         for ( j = ; j <= pl && i*pr[j] <= ; j ++ ){
             v[i*pr[j]] = true;
             if ( i % pr[j] ==  ){ ph[i*pr[j]] = ph[i]*pr[j]; mu[i*pr[j]] = ; break; }
             else ph[i*pr[j]] = ph[i]*ph[pr[j]], mu[i*pr[j]] = -mu[i];
         }
         muu[i] = muu[i-]+mu[i];
     }
 }
 struct matrix {
     LL a[][];
     LL l1, l2;
     void clear (){ memset ( a, , sizeof (a) ); }
 }trans, x, fi;
 matrix ttimes ( matrix x, matrix y ){
     matrix ret;
     ret.clear ();
     ret.l1 = x.l1; ret.l2 = y.l2;
     LL i, j, k;
     for ( i = ; i < ret.l1; i ++ ){
         for ( j = ; j < ret.l2; j ++ ){
             for ( k = ; k < x.l2; k ++ ){
                 ret.a[i][j] = (ret.a[i][j]+mul(x.a[i][k],y.a[k][j])%Mod)%Mod;
             }
         }
     }
     return ret;
 }
 LL p[Maxn], ppl;
 LL phi ( LL x ){
     if ( x <=  ) return ph[x];
     LL ret = x, u = x;
     for ( LL i = ; i <= pl; i ++ ){
         if ( x % pr[i] ==  ){
             ret = ret/pr[i]*(pr[i]-);
             while ( x % pr[i] ==  ) x /= pr[i];
         }
         if ( pr[i]*pr[i] > u ) break;
     }
     if ( x >  ) ret = ret/x*(x-);
     return ret;
 }
 LL pow ( LL x, LL k ){
     LL ret = ;
     while (k){
         if ( k &  ) ret = mul(ret,x)%Mod;
         x = mul(x,x)%Mod;
         k >>= ;
     }
     return ret;
 }
 int main (){
     LL i, j, k, T;
     scanf ( "%lld", &T );
     init ();
     while ( T -- ){
         scanf ( "%lld%lld", &n, &m );
          if(n== && m==) bk=;
         if ( m ==  ){
             printf ( "0\n" );
             continue;
         }
         LL invn, phii;
         Mod = Modd;
         if ( n % Modd !=  ) invn = pow ( n, Modd- ), phii = Modd-;
         else invn = pow ( n/Modd, Modd- ), Mod = Modd*Modd, phii = Modd*(Modd-);
         LL ans2 = , ans3 = ;
         LL pos;
         for ( i = ; i <= m; i = pos+ ){
             LL u = m/i, t; pos = m/(m/i);
             t = mul (u,u);
             ans2 = (ans2+mul(t,muu[pos]-muu[i-]))%Mod;
             t = mul (t,u);
             ans3 = (ans3+mul(t,muu[pos]-muu[i-]))%Mod;
         }
         LL inv = pow ( (LL), phii- );
         LL o = mul((ans3+(mul(ans2,(LL)))+)%Mod,inv);
         ppl = ; LL sq = sqrt (n);
         for ( i = ; i <= sq; i ++ ){
             if ( n % i ==  ) p[++ppl] = i;
         }
         for ( i = ppl; i >= ; i -- ){
             if ( p[i]*p[i] == n ) continue;
             p[++ppl] = n/p[i];
         }
         p[++ppl] = n;
         trans.l1 = trans.l2 = ;
         trans.a[][] = ; trans.a[][] = o-;
         trans.a[][] = ; trans.a[][] = o-;
         fi.l1 = ; fi.l2 = ;
         fi.a[][] = ; fi.a[][] = mul(o,o-);
         LL ans = ;
         p[] = ;
         for ( i = ; i <= ppl; i ++ ){
             x = trans;
             for ( j = p[i]-p[i-]; j >= ; j >>=  ){
                 if ( j &  ) fi = ttimes ( fi, x );
                 x = ttimes ( x, x );
             }
             ans = ( ans + mul(fi.a[][],phi(n/p[i])) ) % Mod;
         }
         if ( n % Modd ==  ) ans /= Modd;
         printf ( "%lld\n", ((ans*invn)%Modd+Modd)%Modd );
     }
     return ;
 }