51nod1675 序列变换

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题意：

给定长为n的序列a,b，下标从1开始，问有多少对x,y满足gcd(x,y)=1且$a_{b_x}=b_{a_y}$？

$n\leq 10^5.$

题解：

$a_{b_x}$和$b_{a_y}$是个幌子，定义成$A_x$和$B_y$就好了，没有什么影响。

考虑倍数反演：记f(i)表示i=gcd(x,y)的方案数；g(i)表示i|gcd(x,y)的方案数。g(i)可以枚举倍数得到。那么有：

$$\begin{equation}g(n)=\sum_{n|d}f(d)\Longrightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{equation}$$

证明

这里只需要$f(1)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\times g(i)$。

复杂度$\mathcal{O}(n\log n)$。

code:

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 #define ll long long
 #define inf 1000000001
 #define y1 y1___
 using namespace std;
 char gc(){
     static char buf[],*p1=buf,*p2=buf;
     return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,,,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
 }
 #define gc getchar
 ll read(){
     char ch=gc();ll x=;int op=;
     for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch=='-') op=-;
     for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
     return x*op;
 }
 #define N 100005
 int n,a[N],b[N],t[N],mu[N],p[N],cnt;ll ans,g[N];bool vis[N];
 void init(int n){
     mu[]=;
     rep (i,,n){
         if (!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-;
         for (int j=;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
             vis[i*p[j]]=;
             if (i%p[j]==) break;
             mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
     }
 }
 int main(){
     n=read();init(n);
     rep (i,,n) a[i]=read();
     rep (i,,n) b[i]=read();
     rep (d,,n){
         for (int i=d;i<=n;i+=d) t[b[a[i]]]++;
         for (int i=d;i<=n;i+=d) g[d]+=t[a[b[i]]];
         for (int i=d;i<=n;i+=d) t[b[a[i]]]--;
     }
     rep (i,,n) ans+=mu[i]*g[i];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }