4550: 小奇的博弈

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Description

这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色。最左边是白色棋子,最右边
是黑色棋子,相邻的棋子颜色不同。
 
小奇可以移动白色棋子,提比可以移动黑色的棋子,它们每次操作可以移动1到d个棋子。每当移动某一个棋子时,
这个棋子不能跨越两边的棋子,当然也不可以出界。当谁不可以操作时,谁就失败了。小奇和提比轮流操作,现在
小奇先移动,有多少种初始棋子的布局会使它有必胜策略?

Input

共一行,三个数,n,k,d。对于100%的数据,有1<=d<=k<=n<=10000, k为偶数,k<=100。

Output

输出小奇胜利的方案总数。答案对1000000007取模。

Sample Input

10 4 2

Sample Output

182

HINT

Source

 
思路:显然为了压制对方,先手会操控白棋向右移,后手会操控黑棋向左移。 那么(1,2) (3,4) (5,6)...(k-1,k)这些棋子就像取石子一样,有K/2堆石子,且每一对的石子数的黑白棋距离。   由于题目是每次可以操作最多d个棋子,每次棋子每次走多次(不超过范围即可),那么就是一个nimk博弈。 (我也是才遇到这么个东西)。
这个博弈先手必败态为:分别累加每堆石子的二进制每一位,分别是(d+1)的倍数。
 
(位了直观,下面直接把棋子间的空位当作石子。
然后,剩下的就交给背包求方案数。   用F[i][j]表示二进制前i位用掉了j个石子。
     因为二进制中第i位要么是0要么是1,在k/2堆石子中,假设有l个有这一位,然后背包乘组合数c[k/2][(d+1)*l],得到如下方程:
f[i+][j]=(f[i+][j]+f[i][j-(1ll<<i)*l*(d+)]*c[k/][(d+)*l])%P;

最后,我们枚举石子数,用F乘上对应的排列数C。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll P=1e9+;
int N,K,D;
ll ans,f[][],C[][];
int main()
{
scanf("%d%d%d",&N,&K,&D);
for(int i=;i<=N;i++){
C[i][]=;
for(int j=;j<=i&&j<=K;j++) C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%P;
}
f[][]=;
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<=N-K;j++)
for(int l=;(1ll<<i)*(D+)*l<=j&&(D+)*l<=K/;l++)
f[i+][j]=(f[i+][j]+f[i][j-(1ll<<i)*l*(D+)]*C[K/][(D+)*l])%P;
for(int i=;i<=N-K;i++) ans=(ans+f[][i]*C[N-i-K/][K/])%P;
printf("%lld",(C[N][K]-ans+P)%P);
return ;
}
 

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