【极值问题】【CF33C】 Wonderful Randomized Sum

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Description

给你一个数列\(A\)，你可以选择任意一个前缀和任意一个后缀，前缀后缀可重合。给他们乘\(-1\)。求最大能获得的序列和。

Input

第一行是一个数\(n\)代表数列长度

第二行\(n\)个数字，代表序列的元素

Output

一个数字代表答案

Hint

\(1~\leq~n~\leq~10^5\)

Solution

发现重合的部分相当于没有修改。于是不妨设前后缀没有重合。

设修改的原序列前缀和为\(A\)，后缀和为\(B\)，未修改的部分为\(C\)，序列和为\(S\)，则有\(A+B+C=S\)。

题目要求最大化\(-(A+B)+C\)。又因为\(A+B=S-C\)。

于是要最大化\(2C-S\)。发现\(S\)是一个不变量，于是要最大化\(C\)。即求一个最大字段和。显然可以DP求解。于是本题可以解决了。

Code

#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch=getchar(),lst=' ';
	while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
	while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T a,const T b) {return a > b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {return a < b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {return a < 0 ? -a : a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &_a,T &_b) {
	T _temp=_a;_a=_b;_b=_temp;
}

const int maxn = 100010;

int n,ans,sum;
int MU[maxn],frog[maxn];

int main() {
	qr(n);
	for(rg int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);
	for(rg int i=1;i<=n;++i) {
		frog[i]=mmax(frog[i],frog[i-1]+MU[i]);
		ans=mmax(ans,frog[i]);
		sum+=MU[i];
	}
	qw((ans<<1)-sum,'\n',true);
	return 0;
}

Summary

遇到最大化一个值的题目，可以通过数学推导变成单变量极值问题，然后DP或者数学求解。