【题解】P2480 [SDOI2010]古代猪文 - 卢卡斯定理

P2480 [SDOI2010]古代猪文

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题目描述

猪王国的文明源远流长，博大精深。

$iPig$ 在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为 $n$。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。

$iPig$ 打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰为远古时期的 $1/k$ ，其中 $k$ 是 $n$ 的一个正约数（可以是 $1$ 或 $n$）。不过具体是哪 $1/k$，以及 $k$ 是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。

$iPig$ 觉得只要符合文献，每一种 $k|n$ 都是有可能的。他打算考虑到所有可能的 $k$。显然当 $k$ 等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为 $n/k$。然而从 $n$ 个文字中保留下 $n/k$ 个的情况也是相当多的。$iPig$ 预计，如果所有可能的 $k$ 的所有情况数加起来为 $p$ 的话，那么他研究古代文字的代价将会是 $g^p$ 。

现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于 $iPig$ 觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以 $999911659$ 的余数就可以了。

输入格式

一行两个正整数 $n,g$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

$Solution$

看题解大佬们都好不屑啊...几个式子一摆就没了...我自己理解还要好一会，果然太菜了

首先，由于要从 $n$ 中选出 $\dfrac{n}{k}$ 个，又因为 $\dfrac{n}{k} | n$ ，所以 $p$ 就等于 $\sum{k|n} \ C_{n}^{k}$

又因为 $999911659$ 是个质数，根据欧拉定理得，$g^p \equiv g^{p \% 999911658} \pmod{p}$

接下来就求 $p \ \% \ 999911658$

发现是大组合数，可以用 $lucas$ 定理，但是模数太大（ $lucas$ 定理时间复杂度为 $O(p\log_pn)$），显然过不去

但是我们可以发现， $999911658$ 可以质因数分解为 $2 * 3 * 4679 * 35617$，于是我们可以先求得在这模四个数下的 $p$ ，然后用中国剩余定理最后求解

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

$Code$

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)

using namespace std;

ll read();

const int N = 36000 + 5;

ll n, g;

ll a[4], b[4] = {2, 3, 4679, 35617}, kk = 999911658;

ll mul[N], f[N], ans;

void init(ll mod)

{

	f[0] = 1;

	F(i, 1, mod) f[i] = f[i - 1] * i % mod;

}

ll qpower(ll x, ll y, ll mod)

{

	ll res = 1;

	while(y)

	{

		if(y & 1) res = res * x % mod;

		x = x * x % mod, y >>= 1;

	}

	return res;

}

ll C(ll n, ll m, ll mod)

{

	if(n < m) return 0;

	return f[n] * qpower(f[m], mod - 2, mod) % mod * qpower(f[n - m], mod - 2, mod) % mod;

}

ll lucas(ll n, ll m, ll mod)

{

	if(n < m) return 0;

	if(! n) return 1;

	return lucas(n / mod, m / mod, mod) * C(n % mod, m % mod, mod) % mod;

}

int main()

{

    n = read(), g = read();

    if(g % (kk + 1) == 0)

    {

    	puts("0");

    	return 0;

	}

    F(s, 0, 3)

	{

	    init(b[s]);

	    F(i, 1, sqrt(n))

	        if(n % i == 0)

	        {

	        	a[s] = (a[s] + lucas(n, i, b[s])) % b[s];

	        	if(i * i != n) a[s] = (a[s] + lucas(n, n / i, b[s])) % b[s];

			}

    }

    F(i, 0, 3) ans = (ans + a[i] * (kk / b[i]) % kk * qpower(kk / b[i], b[i] - 2, b[i])) % kk;

    printf("%lld", qpower(g, ans, kk + 1));

	return 0;

}

ll read()

{

	ll x = 0, f = 1;

	char c = getchar();

	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}

	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();

	return x * f;

}