「CF1004E」Sonya and Ice Cream

题目描述

给定一个 \(N\) 个点的树，要选出一条所含点的个数不超过 \(K\) 的一条路径，使得路径外的点到这条路径的距离的最大值最小。

数据范围：\(1\le K \le N \le 10^5\)

解题思路

这道题我有两种方法。

方法一

我们考虑一个性质：选出来的链一定会是直径的一部分。

不然就肯定会存在可能更新最大值的一个分支，而且这个分支的大小一定会不比路径包含在直径上时小。

同样的道理，我们发现这条路径在直径上越长越好。

那么我们不妨先把直径抠出来，记作一个序列，那么这颗树就可以想象成一条链挂了很多子树。

我们dfs出每一个直径上的点，它下面的子树的以根为源点的最长路，然后用 \(\text{ST}\) 表维护一下它的区间最大值，再加上一点前缀和，然后在直径上移动这个序列，更新答案就好了。

复杂度是 \(O(n \log n)\) 的。

方法二

考虑一种贪心的思想。

我们考虑不断删掉叶子，每次选择距离目标形态最近的叶子删掉，并且判断一下他的父亲是不是成了新的叶子，并将他的答案向父亲合并。

关于正确性：

1. 删成链之后就会继续删链的端点，这肯定没问题。
2. 这里的最近类似与上文中的“直径上的点的子树的以根为源点的最长路”，所以是对的。
3. 由于选择顺序的规定，所以更新父亲的一定是最后被选的一个儿子，因为它的关键字最大，所以只需要在父亲变叶子时更新。

知道了原理后，我们可以用 set 存边，方便进行删边操作，用 priority_queue 来维护所有的叶子，然后直接模拟这个过程就好了。

细节注意事项

• 用第一种方法会稍微有一点难调。
• 用第二种方法就可能会出现 STL 的使用出错等问题。

参考代码

这是方法一的代码，由于我自己没(lan)有(de)打，所以这里放的是 \(\text{\color{black}{M}\color{red}{\_sea}}\) 神仙的代码

// ===================================
//   author: M_sea
//   website: http://m-sea-blog.com/
// ===================================
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define re register
using namespace std;

inline int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=100000+10;

int n,k;

struct edge { int v,w,nxt; } e[N<<1];
int head[N];
inline void addEdge(int u,int v,int w) {
    static int cnt=0;
    e[++cnt]=(edge){v,w,head[u]},head[u]=cnt;
}

int rt1,rt2;
int dis[N],fa[N];
inline void dfs1(int u,int f) {
    if (dis[u]>dis[rt1]) rt1=u;
    for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        if (e[i].v!=f) dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,dfs1(e[i].v,u);
}
inline void dfs2(int u,int f) {
    fa[u]=f;
    if (dis[u]>dis[rt2]) rt2=u;
    for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        if (e[i].v!=f) dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,dfs2(e[i].v,u);
}

int cnt=0,lend=0;
int in[N],maxdis[N],w[N];
int lg[N],st[17][N],sum[N];
inline void dfs3(int u,int f) {
    for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
        int v=e[i].v; if (v==f) continue;
        w[v]=e[i].w,dfs3(v,u);
        if (!in[v]) maxdis[u]=max(maxdis[u],maxdis[v]+e[i].w);
    }
}
inline void init_diameter() {
    for (re int i=rt2;i;i=fa[i]) in[i]=1,++cnt;
    dfs3(rt1,0);
    for (re int i=2;i<=n;++i) lg[i]=lg[i>>1]+1;
    for (re int i=rt2,j=1;i;i=fa[i],++j) st[0][j]=maxdis[i];
    for (re int i=1;i<17;++i)
        for (re int j=1;j+(1<<i)-1<=cnt;++j)
            st[i][j]=max(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);
    for (re int i=rt2,j=1;i;i=fa[i],++j) sum[j]=w[i],lend+=w[i];
    for (re int i=1;i<=cnt;++i) sum[i]+=sum[i-1];
}
inline int query(int l,int r) {
    int t=lg[r-l+1];
    return max(st[t][l],st[t][r-(1<<t)+1]);
}

int main() {
    n=read(),k=read();
    if (n==1) { puts("0"); return 0; }
    for (re int i=1;i<n;++i) {
        int u=read(),v=read(),w=read();
        addEdge(u,v,w),addEdge(v,u,w);
    }
    dfs1(1,0),dfs2(rt1,0);
    init_diameter();
    if (k>cnt) printf("%d\n",query(1,cnt));
    else {
        int ans=2e9;
        for (re int i=1;i+k-1<=cnt;++i) {
            int tmp=max(sum[i-1],lend-sum[i+k-2]);
            ans=min(ans,max(tmp,query(i,i+k-1)));
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

下面是方法二的代码，我自己敲的。

/*
  ================================
  Author: The Ace Bee
  Blog: www.cnblogs.com/zsbzsb
  This code is made by The Ace Bee
  ================================
*/
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <set>
#define rg register
using namespace std;
template < typename T > inline void read(T& s) {
 	s = 0; int f = 0; char c = getchar();
 	while (!isdigit(c)) f |= (c == '-'), c = getchar();
 	while (isdigit(c)) s = s * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
 	s = f ? -s : s;
}

const int _ = 100000 + 10;

int n, k, ans;
struct node{ int u, w; };
inline bool operator < (const node& x, const node& y) { return x.w > y.w; }
priority_queue < node > Q;
set < pair < int, int > > s[_];

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in", "r", stdin);
#endif
	read(n), read(k);
	for (rg int u, v, d, i = 1; i < n; ++i) {
		read(u), read(v), read(d);
		s[u].insert(make_pair(v, d));
		s[v].insert(make_pair(u, d));
	}
	for (rg int i = 1; i <= n; ++i)
		if (s[i].size() == 1) Q.push((node) { i, (*s[i].begin()).second });
	while (Q.size() > 2 || k < n) {
		node x = Q.top(); Q.pop(), --n, ans = x.w;
		int u = x.u, v = (*s[u].begin()).first;
		s[v].erase(s[v].lower_bound(make_pair(u, 0)));
		if (s[v].size() == 1) Q.push((node) { v, ans + (*s[v].begin()).second });
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

完结撒花 \(qwq\)