题目链接:https://loj.ac/problem/6392

题目大意:给定五个正整数c1,c2,e1,e2,N,其中e1与e2互质,且满足

c1 = m^e1 mod N

c2 = m^e2 mod N

求出正整数m

解题思路:因为e1与e2互质,所以可以找到两个整数x,y,满足e1x+e2y=1

所以m^(e1x+e2y)=m^1=m=c1^x*c2^y;

注意如果x或者y小于0时,需要求c1、c2对N的逆元

因为N的范围很大,小于2的63次方,所以不能直接乘,需要用快速乘。

求逆元的时候,无法确定N是否是素数,所以不能用费马小定理,要用扩展欧几里得

代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 5000005
ll mod;
ll n,c1,c2,e1,e2;
ll read () {
char c = '\n';
while (!isdigit(c)) c = getchar();
ll res = c - '';
c = getchar();
while (isdigit(c))
{
res = res * + (c - '');
c = getchar();
}
return res;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d){
if(!b) x=,y=,d=a;
else{
exgcd(b,a%b,y,x,d);
y-=a/b*x;
}
}
ll INV(ll a,ll p){
ll x,y,d;
exgcd(a,p,x,y,d);
return (x%p+p)%p;
}
ll qmul(ll a,ll b){
ll res=;
while(b){
if(b&) res=(res+a)%mod;
b>>=;
a=(a+a)%mod;
}
return res;
}
ll qpow(ll a,ll b){
ll res=;
while(b){
if(b&) res=qmul(res,a);
b>>=;
a=qmul(a,a);
}
return res;
}
int main(){
int T;
T=read();
while(T--){
c1=read(),c2=read(),e1=read(),e2=read(),mod=read();
ll x,y,d;
exgcd(e1,e2,x,y,d);
//如果指数为负数,需要求底数对mod的逆元
if(x<){
c1=INV(c1,mod);
x=-x;
}
if(y<){
c2=INV(c2,mod);
y=-y;
}
printf("%lld\n",qmul(qpow(c1,x),qpow(c2,y)));
}
return ;
}

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