[数论]原根与指标，BSGS

刚学了这方面的知识，总结一下。推荐学习数论方面的知识还是看书学习，蒟蒻看的是《初等数论》学的。

这里也推荐几个总结性质的博客，学习大佬的代码和习题。

原根：https://blog.csdn.net/fuyukai/article/details/50894609

BSGS：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8810050.html

https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/81515576

然后也没什么好说的啦，以下是模板代码：

求一个数的最小原根：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL prm[],tot,N,root;

LL Power(LL x,LL p,LL MOD) {
    LL ret=;
    for (;p;p>>=) {
        if (p&) ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
    }
    return ret;
}

LL GetRoot(LL n) {
    LL tmp=n-,tot=;
    for (LL i=;i<=sqrt(tmp);i++) {
        if(tmp%i==) {
            prm[++tot]=i;
            while(tmp%i==) tmp/=i;
        }
    }
    if (tmp!=) prm[++tot] = tmp;            //质因数分解
    for (LL g=;g<=n-;g++) {
        bool flag = ;
        for(int i=;i<=tot;i++)      //检测是否符合条件
            if(Power(g,(n-)/prm[i],n)==) { flag=; break; }
        if (flag)return g;
    }
    return ;  //无解
}

int main() {
    cin >> N;
    cout<<GetRoot(N)<<endl;
    return ;
}

普通BSGS：计算a^x≡b(mod p)，要求a和p互质。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 76543  //这是哈希表大小
using namespace std; 

int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top;
void insert(int x,int y) {
    int k=x%MOD;
    hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++;
}

int find(int x) {
    int k=x%MOD;
    for(int i=head[k];i!=-;i=nxt[i])
        if(hs[i]==x) return id[i];
    return -;
}

//普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质）
int BSGS(int a,int b,int c) {
    top=; memset(head,-,sizeof(head));  //清空哈希表
    a%=c; b%=c;  //先取模
    if(b==) return ;
    int m=sqrt(c*1.0),j;
    long long x=,p=;
    for(int i=;i<m;++i,p=p*a%c)
        insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j)
    for(long long i=m;;i+=m) {
        if((j=find(x=x*p%c))!=-) return i-j;  //大步：a^(ms-j)=b(mod c)
        if(i>c) break;
    }
    return -;  //无解
}

int main()
{
    int a,b,c; cin>>a>>b>>c;
    cout<<BSGS(a,b,c)<<endl;
    return ;
}

拓展BSGS，计算a^x≡b(mod p)，但不要求a和p互质。代码学习yyb大佬的，测试：SPOJ-MOD 。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 76543  //这是哈希表大小
using namespace std;
typedef long long LL;

LL power(LL x,LL p,LL mod) {
    LL ret=;
    for (;p;p>>=) {
        if (p&) ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
    }
    return ret;
}

int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top;
void insert(int x,int y) {
    int k=x%MOD;
    hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++;
}

int find(int x) {
    int k=x%MOD;
    for(int i=head[k];i!=-;i=nxt[i])
        if(hs[i]==x) return id[i];
    return -;
}

//拓展BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（不要求A,C互质）
int exBSGS(int y,int z,int p) {
    y%=p; z%=p;
    if (z==) return ;
    int k=,a=;
    while() {  //消因子
        int d=__gcd(y,p); if(d==)break;
        if(z%d) return -;  //无解
        z/=d; p/=d; ++k; a=1LL*a*y/d%p;
        if(z==a) return k;
    }
    top=; memset(head,-,sizeof(head));  //清空哈希表，BSGS
    int m=sqrt(p)+;
    for(int i=,t=z;i<m;++i,t=1LL*t*y%p) insert(t,i);
    for(int i=,tt=power(y,m,p),t=1LL*a*tt%p;i<=m;++i,t=1LL*t*tt%p) {
        int B=find(t); if(B==-) continue;
        return i*m-B+k;
    }
    return -;
}

int main()
{
    int a,b,c;
    while (scanf("%d%d%d",&a,&c,&b)==) {
        if (a== && b== && c==) break;
        int t=exBSGS(a,b,c);
        if (t==-) puts("No Solution"); else printf("%d\n",t);
    }
    return ;
}

题目练习：

洛谷P2485

简单题，分别是求快速幂，逆元，BSGS。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 76543  //这是哈希表大小
using namespace std;
typedef long long LL;

LL power(LL x,LL p,LL mod) {
    LL ret=;
    for (;p;p>>=) {
        if (p&) ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
    }
    return ret;
}

int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top;
void insert(int x,int y) {
    int k=x%MOD;
    hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++;
}

int find(int x) {
    int k=x%MOD;
    for(int i=head[k];i!=-;i=nxt[i])
        if(hs[i]==x) return id[i];
    return -;
}

//普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质）
int BSGS(int a,int b,int c) {
    top=; memset(head,-,sizeof(head));  //清空哈希表
    a%=c; b%=c;  //先取模
    if(b==) return ;
    int m=sqrt(c*1.0),j;
    long long x=,p=;
    for(int i=;i<m;++i,p=p*a%c)
        insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j)
    for(long long i=m;;i+=m) {
        if((j=find(x=x*p%c))!=-) return i-j;  //大步：a^(ms-j)=b(mod c)
        if(i>c) break;
    }
    return -;  //无解
}

int main()
{
    int T,k; cin>>T>>k;
    while (T--) {
        int y,z,p; scanf("%d%d%d",&y,&z,&p);
        if (k==) printf("%lld\n",power(y,z,p));
        if (k==) {
            if (y%p==) puts("Orz, I cannot find x!");
            else printf("%lld\n",z%p*power(y,p-,p)%p);
        }
        if (k==) {
            if (y%p==) {puts("Orz, I cannot find x!"); continue;}
            int t=BSGS(y,z,p);
            if (t==-) puts("Orz, I cannot find x!");
            else printf("%d\n",t);
        }
    }
    return ;
}

洛谷P3306

完全不会做qwq，蒟蒻只能自闭半天之后看题解，跟着大佬推。这道题很好，细节也很多，值得多思考。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 76543  //这是哈希表大小
using namespace std;
typedef long long LL;

LL power(LL x,LL p,LL mod) {
    LL ret=;
    for (;p;p>>=) {
        if (p&) ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
    }
    return ret;
}

int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top;
void insert(int x,int y) {
    int k=x%MOD;
    hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++;
}

int find(int x) {
    int k=x%MOD;
    for(int i=head[k];i!=-;i=nxt[i])
        if(hs[i]==x) return id[i];
    return -;
}

//普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质）
LL BSGS(int a,int b,int c) {
    top=; memset(head,-,sizeof(head));  //清空哈希表
    a%=c; b%=c;  //先取模
    if(b==) return ;
    int m=sqrt(c*1.0),j;
    long long x=,p=;
    for(int i=;i<m;++i,p=p*a%c)
        insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j)
    for(long long i=m;;i+=m) {
        if((j=find(x=x*p%c))!=-) return i-j;  //大步：a^(ms-j)=b(mod c)
        if(i>c) break;
    }
    return -;  //无解
}

int main()
{
    int T; cin>>T;
    LL p,a,b,x1,t;
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
        if (x1==t) { puts(""); continue; }
        if (a==) {
            if (b==t) puts(""); else puts("-1");
            continue;
        }
        if (a==) {
            if (b==) puts("-1");
            else printf("%lld\n",((t-x1)%p+p)%p*power(b,p-,p)%p+);
            continue;
        }
        int tmp=(t-t*a)%p; tmp=(tmp+p)%p;
        tmp-=b; tmp%=p; tmp=(tmp+p)%p;
        int ttmp=(x1-x1*a)%p; ttmp=(ttmp+p)%p;
        ttmp-=b; ttmp%=p; ttmp=(ttmp+p)%p;
        tmp=tmp*power(ttmp,p-,p)%p;

        printf("%lld\n",BSGS(a,tmp,p)+);
    }
    return ;
}

BZOJ 1319