计蒜之道百度AI小课堂-上升子序列

题目描述

给一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 。试将其划分为两个严格上升子序列，并使其长度差最小。

输入格式

输入包含多组数据。

数据的第一行为一个正整数 $T$ ，表示数据组数。

每组数据包括两行:

第一行包括一个正整数 $n$

第二行包括一个长度为 $n$ 的数组 $a$。

输出格式

对于每组数据输出一行一个整数，表示两个子序列的最小长度差。若不存在划分方案则输出$-1$

数据范围

$T <= 10$

简单: $n <= 10^5, 0 <= a_i <= 2^{30}$, 最多只存在一种合法的划分方案

中等: $n <= 10^3, 0 <= a_i <= 2^{30}$, 划分方案不超过$10^{18}$

困难: $n <= 10^5, 0 <= a_i <= 2^{30}$, 划分方案不超过$10^{18}$

思路：直接上题解

如果一个位置$k$满足对于$∀_i∈[1,k], ∀_j∈[k+1,n]， a_i < a_j$恒成立，那么称$k$为一个分界点。找出所有分界点后可将序列分为若干段，每段之间相互独立，同时每段只存在不超过一种合法的方案数。求出每段的划分$O(n)$，再进行背包dp($O(nlogK)$($K$为可能的划分方案数))

其实就是说对于某个$i$,满足$max(1,i) < min(i + 1,n)$,则序列$[1,i]和[i+1,n]$是相互独立的。

同理再来一个$j > i$ 满足$max(1,j) < min(j + 1,n)$, 则序列$[1,j]和[j+1,n]$相互独立，序列$[1,i]$已经被划分出去，所以左边剩下$[i+1,j]$。

简单证明这样的每段如果合法,只存在一种划分。

即证明对于合法的一段$[i,j](j > i + 1)$, 若不存在$k$，满足$i<=k<j, max(i,k) < min(k+1,j)$,那么段$[i,j]$只有一种划分方案。

反证不存在的情况有多种划分成立，则存在的情况下只有一种划分，存在的情况下可以分成不可再分的几段，每段有多种划分，拼起来也会有多种划分，与只有一种划分矛盾。

每段只有一种划分， $m$段组合起来的方案数为$2^m = K$，所以$m = logK$

最后问题变成一个背包，从每段中选择一个序列长度组合起来，最后是否出现长度为$j$的序列($dp[j]$)

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

using namespace std;

const int INF = 1e9;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N];

int mi[N], mx[N];

int dp[2][N];

int T, n, o;

bool gao(int l, int r){

    int first = 0, second = 0, cnt = 0;

    for(int i = l;i <= r;i++){

        if(first < a[i]) first = a[i], cnt++;

        else if(second < a[i]) second = a[i];

        else return false;

    }

    int d[2] = {cnt, r - l + 1 - cnt};

    for(int i = 0;i <= n;i++) {

        dp[o ^ 1][i] = 0;

        for(int k = 0;k < 2;k++){

            if(i >= d[k]) dp[o ^ 1][i] |= dp[o][i - d[k]];

        }

    }

    o ^= 1;

    return true;

}

int main(){

	cin>>T;

	while(T--){

		cin>>n;

		for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i];

        if(n == 1){

            cout<<-1<<endl;

            continue;

        }

        mx[0] = -1, mi[n + 1] = (1<<30) + 1;

        for(int i = 1;i <= n;i++) mx[i] = max(mx[i - 1], a[i]);

        for(int i = n;i >= 1;i--) mi[i] = min(mi[i + 1], a[i]);

        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        dp[0][0] = 1;

        int last = 1;

        bool flag = true;

        o = 0;

        for(int i = 1;i <= n;i++){

            if(mx[i] < mi[i + 1]){

                if(!gao(last, i)){

                    flag = false;

                    break;

                }

                last = i + 1;

            }

        }

        int ans = -1;

        if(flag){

            for(int i = n / 2;i >= 0;i--) if(dp[o][i]){

                ans = n - 2 * i;

                break;

            }

        }

        cout<<ans<<endl;

	}

}