POJ 1485：Fast Food（dp）&& 面试题

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题意

给出 n 个餐厅，m 个停车场，现在要将 n 个餐厅中的 m 个变成停车场，使得每个餐厅到最近的停车场的距离之和最短，输出哪个餐厅变成停车场和它服务哪些餐厅，还有最短距离之和。

思路

首先确定在 i 到 j 之间，一定是选择 i 和 j 的中位数那个餐厅作为停车场可以使得i到j的餐厅到停车场的距离最短。

接下来定义状态 dp[i][j] 为前 i 个餐厅中有 j 个改装为停车场的最短距离之和。

设想如果前 j - 1 个停车场服务着前 k-1 个餐厅，那么剩下的最后一个停车场（第 j 个）就要服务 [k, i] 的餐厅了。

所以得到递推式：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k-1][j-1] + 第k个餐厅到第i个餐厅的花费)。

这个花费可以预处理出来，定义 cost[i][j] 为 [i, j] 中修建一个停车场，其他 [i, j] 中的餐厅到这个停车场的距离之和。

还有一个难点就是输出路径的时候，用三个数组表示 dp[i][j] 的时候，最后一个停车场的位置，服务的餐厅的起点，服务的餐厅的终点，然后用 dfs 回溯的时候输出。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int N = 211;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, x[N], dp[N][N], cost[N][N];
int st[N][N], ed[N][N], id[N][N];

void dfs(int i, int j) {
    if (i < 1 || j < 1) return ;
    dfs(st[i][j]-1, j-1);
    printf("Depot %d at restaurant %d serves ", j, id[i][j]);
    if (st[i][j] == ed[i][j]) printf("restaurant %d\n", st[i][j]);
    else printf("restaurants %d to %d\n", st[i][j], ed[i][j]);
}

int main() {
    int t = 0;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) && n && m) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &x[i]);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                cost[i][j] = 0;
                for (int k = i; k <= j; k++)
                    cost[i][j] += abs(x[k] - x[(i+j)/2]);
            }
        }
        memset(dp, INF, sizeof dp);
        dp[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举当前要放多少个包裹
            for (int j = 1; j <= i && j <= m; j++) { // 枚举仓库，要求仓库的数量比包裹数量少
                for (int k = j; k <= i; k++) {
                    // 枚举从第k个包裹到第i个包裹全都放到最后一个仓库，
                    // 而且满足前面的j-1个仓库都至少一个包裹
                    int now = dp[k-1][j-1] + cost[k][i];
                    if (dp[i][j] > now) {
                        dp[i][j] = now;
                        st[i][j] = k; ed[i][j] = i; // st,ed 分别记录最后一个仓库的起点和终点
                        id[i][j] = (k + i) / 2; // id 记录的是位置
                    }
                }
            }
        }
        printf("Chain %d\n", ++t);
        dfs(n, m);
        printf("Total distance sum = %d\n\n", dp[n][m]);
    }
    return 0;
}

/*
6 3
1 3 7 9 10 16
5 3
1 3 7 9 10
1 1
5
*/

在面试的时候被问到如果那个花费是距离的平方的时候，什么时候最优。

自己当场在平均值和中位数两者间试，试了一下还是被提示了，然后让我推，也推得不好。

然后就引申出了这个问题。然后当场不会做，因此在这里补一下。

具体的题目是：有 n 个 packages，m 个仓库，要让这些 packages 到最近的仓库的距离的平方之和最短，问最小的距离和。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 211;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, x[N];
double dp[N][N], cost[N][N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &x[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            double sum = 0;
            for (int k = i; k <= j; k++)
                sum += x[k];
            sum /= (j - i + 1);
            cost[i][j] = 0;
            for (int k = i; k <= j; k++)
                cost[i][j] += (x[k] - sum) * (x[k] - sum);
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) for (int j = 0; j <= m; j++) dp[i][j] = 1e9;
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举当前要放多少个包裹
        for (int j = 1; j <= i && j <= m; j++) { // 枚举仓库，要求仓库的数量比包裹数量少
            for (int k = j; k <= i; k++) {
                // 枚举从第k个包裹到第i个包裹全都放到最后一个仓库，
                // 而且满足前面的j-1个仓库都至少一个包裹
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k-1][j-1] + cost[k][i]);
            }
        }
    }
    printf("%.2f\n", dp[n][m]);
    return 0;
}

/*
6 3
1 3 7 9 10 16
5 3
1 3 7 9 10
1 1
5
*/