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前言


这题比赛的时候觉得能做,硬是怼了一个半小时,最后还是放弃了。开始想到用二维前缀和,结果$n\leq 10^{6}$时间和空间上都爆了,没有办法。赛后看题解用树状数组,一看不就是二维树状数组么,结果时间是够了,然而$sum[maxn][maxn]$空间上就爆了。于是开始研究别人的代码,终于看懂了,就觉得很神奇,这个思想很妙,后来再看别的博客,原来是二维偏序(就是利用树状数组/$CDQ$分治求$M$个点中每个点横纵坐标均小于这个点的权值和)

题意


有一个$n\ast n(n\leq 10^{6})$的螺旋矩阵,图像见题目。然后有$m$个宫殿,每一个宫殿坐落在一个格子里,该宫殿的美丽值为所在格子的各个数位的和。比如一个宫殿位于值为$123$的格子,那么他的美丽值就是$1+2+3=6$。然后给你$q$个询问,每个询问包含一个矩形的左下角和右上角,要求输出在这个范围内的宫殿的美丽值的和。

分析


首先这题的一个思维点就在于,如何通过给你的坐标$(x,y)$快速的求出在螺旋矩阵中的相应数字。

你可以通过分类讨论,或者找规律,推公式找出结论,要注意正是因为$n$是奇数,才有这么强的规律性。

$x = x-n/2-1, y = y-n/2-1;$
$t = max(abs(x), abs(y));$ $//确定该点在第几圈螺旋$
$if(x>=y)$ $ans = n*n-4*t*t-2*t-x-y;$ $//在向右与向上的路线上$
$else$ $ans = n*n-4*t*t+2*t+x+y;$ $//在向左与向下的路线上$

对于这个题目而言,问题就转变成了如何求任意子矩阵的和。

假设我们用$sum[i][j]$表示以$(1,1)$为左下角,$(i,j)$为右上角所求得的矩阵和。则对于查询$x1,y1,x2,y2$就有:

      $ans = sum[x2][y2]-sum[x2][y2-1]-sum[x1-1][y1]+sum[x1-1][y1-1]$

我们当然可以用二维树状数组求$sum[i][j]$,但是这里的$n$达到了$10^{6}$的数量级,空间上会爆掉。所以采用另外一种方法,就是二维偏序。

就这题来说,对于某次查询的子矩阵中点$i$,都可能有另外一些点的$x,y$坐标均小于等于点$i$的$x,y$坐标,这些点的权值和即为点$i$的二维偏序值.。

我们的做法是按照第一维排序,再用树状数组处理第二维即可。

为什么要按照第一维排序:对于每个点,显然只有它前面的点($x$坐标小于等于该点)的权值有可能(换句话说,$x$坐标大于该点的那些点是绝对不可能被计入该点的二维偏序值的)被计入该点的二维偏序值.

当然了,仅仅按照第一维排序是不能解决这一问题的,因为不能保证每个点前面的点的$y$坐标都小于等于这个点。

为什么要使用树状数组:在二维偏序中,通过对每个点关于$x$坐标排序,我们得到了一个$x$轴坐标单调递增的点的序列。接下来要解决的问题,是怎么关于点$i$获取$y$坐标小于点$i$的点的数量,这时树状数组就起到作用了

由于只有$x$坐标小于等于点$i$的点集需要被考虑(原因前面已经提到过,即只有$x$坐标小于等于点$i$的$x$坐标的点集有可能被计入点i的二维偏序值),因此我们把需要查询的$x$的值进行排序,按顺序进行查询。对于某次查询$i$,只有$x$坐标小于$i$的宫殿才能被加入树状数组,之后再用树状数组找出其中$y$坐标小于点$i$的点求和就好了。

这里有一些细节处理,我们用$id$记录是第几次查询,用$flag$标记每次询问求前缀和是加还是减。

Code(这里第一维按y排序)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+;
int T, n, m, p, tot;
ll c[maxn*], ans[maxn];
struct node {
int x, y, id, flag;
node(int _x = , int _y = , int _id = , int _flag = ) : x(_x), y(_y), id(_id), flag(_flag) {};
bool operator<(const node &b) const {
return y < b.y;
}
}q[maxn*];
struct palace {
int x, y, val;
palace(int _x = , int _y = , int _val = ) : x(_x), y(_y), val(_val) {};
bool operator<(const palace &b) const {
return y < b.y;
}
}a[maxn]; int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void add(int x,ll val){
if (x==) return;
while (x<maxn){
c[x]+=val;
x+=lowbit(x);
}
}
ll query(int x) {
ll ret = ;
while (x) {
ret += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
} void solve() {
int pos = ;
for (int i = ; i <= tot; i++) {
while (pos <= m && a[pos].y <= q[i].y) {
add(a[pos].x, a[pos].val);
pos++;
}
ans[q[i].id] += query(q[i].x) * q[i].flag;
}
} ll sum(ll x) {
ll ret = ;
while (x) {
ret += x % ;
x /= ;
}
return ret;
} ll get(ll x, ll y, ll n){
x = x-n/-, y = y-n/-;
ll t = max(abs(x), abs(y));
ll ans;
if(x>=y) ans = n*n-*t*t-*t-x-y;
else ans = n*n-*t*t+*t+x+y;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
for (int i = ; i <= * n; i++) c[i] = ;
for (int i = ; i <= p; i++) ans[i] = ;
for (int i = , x, y; i <= m; i++) {
scanf("%d%d", &x, &y);
a[i] = palace(x, y, sum(get(x, y, n)));
}
sort(a + , a + m + ); tot = ;
for (int i = , x1, x2, y1, y2; i <= p; i++) {
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
q[++tot] = node(x1 - , y1 - , i, );
q[++tot] = node(x1 - , y2, i, -);
q[++tot] = node(x2, y1 - , i, -);
q[++tot] = node(x2, y2, i, );
}
sort(q + , q + tot + );
solve();
for (int i = ; i <= p; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
}
return ;
}

 值得注意的是,一定好好看题!!!宫殿的美丽值是其在螺旋矩阵的对于数字的各位和,就比如25,美丽值应该是2+5=7,而不是25,害得我当时赛后补题一直WA。

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