[The Preliminary Contest for ICPC Asia Nanjing 2019] A-The beautiful values of the palace（二维偏序+思维）

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前言

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这题比赛的时候觉得能做，硬是怼了一个半小时，最后还是放弃了。开始想到用二维前缀和，结果$n\leq 10^{6}$时间和空间上都爆了，没有办法。赛后看题解用树状数组，一看不就是二维树状数组么，结果时间是够了，然而$sum[maxn][maxn]$空间上就爆了。于是开始研究别人的代码，终于看懂了，就觉得很神奇，这个思想很妙，后来再看别的博客，原来是二维偏序(就是利用树状数组/$CDQ$分治求$M$个点中每个点横纵坐标均小于这个点的权值和)

题意

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有一个$n\ast n(n\leq 10^{6})$的螺旋矩阵，图像见题目。然后有$m$个宫殿，每一个宫殿坐落在一个格子里，该宫殿的美丽值为所在格子的各个数位的和。比如一个宫殿位于值为$123$的格子，那么他的美丽值就是$1+2+3=6$。然后给你$q$个询问，每个询问包含一个矩形的左下角和右上角，要求输出在这个范围内的宫殿的美丽值的和。

分析

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首先这题的一个思维点就在于，如何通过给你的坐标$(x,y)$快速的求出在螺旋矩阵中的相应数字。

你可以通过分类讨论，或者找规律，推公式找出结论，要注意正是因为$n$是奇数，才有这么强的规律性。

$x = x-n/2-1, y = y-n/2-1;$
$t = max(abs(x), abs(y));$ $//确定该点在第几圈螺旋$
$if(x>=y)$ $ans = n*n-4*t*t-2*t-x-y;$ $//在向右与向上的路线上$
$else$ $ans = n*n-4*t*t+2*t+x+y;$ $//在向左与向下的路线上$

对于这个题目而言，问题就转变成了如何求任意子矩阵的和。

假设我们用$sum[i][j]$表示以$(1,1)$为左下角，$(i,j)$为右上角所求得的矩阵和。则对于查询$x1,y1,x2,y2$就有：

　　　　　　$ans = sum[x2][y2]-sum[x2][y2-1]-sum[x1-1][y1]+sum[x1-1][y1-1]$

我们当然可以用二维树状数组求$sum[i][j]$，但是这里的$n$达到了$10^{6}$的数量级，空间上会爆掉。所以采用另外一种方法，就是二维偏序。

就这题来说，对于某次查询的子矩阵中点$i$，都可能有另外一些点的$x,y$坐标均小于等于点$i$的$x,y$坐标，这些点的权值和即为点$i$的二维偏序值.。

我们的做法是按照第一维排序，再用树状数组处理第二维即可。

为什么要按照第一维排序：对于每个点，显然只有它前面的点（$x$坐标小于等于该点）的权值有可能（换句话说，$x$坐标大于该点的那些点是绝对不可能被计入该点的二维偏序值的）被计入该点的二维偏序值.

当然了，仅仅按照第一维排序是不能解决这一问题的，因为不能保证每个点前面的点的$y$坐标都小于等于这个点。

为什么要使用树状数组：在二维偏序中，通过对每个点关于$x$坐标排序，我们得到了一个$x$轴坐标单调递增的点的序列。接下来要解决的问题，是怎么关于点$i$获取$y$坐标小于点$i$的点的数量，这时树状数组就起到作用了

由于只有$x$坐标小于等于点$i$的点集需要被考虑（原因前面已经提到过，即只有$x$坐标小于等于点$i$的$x$坐标的点集有可能被计入点i的二维偏序值），因此我们把需要查询的$x$的值进行排序，按顺序进行查询。对于某次查询$i$，只有$x$坐标小于$i$的宫殿才能被加入树状数组，之后再用树状数组找出其中$y$坐标小于点$i$的点求和就好了。

这里有一些细节处理，我们用$id$记录是第几次查询，用$flag$标记每次询问求前缀和是加还是减。

Code(这里第一维按y排序)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+;
int T, n, m, p, tot;
ll c[maxn*], ans[maxn];
struct node {
    int x, y, id, flag;
    node(int _x = , int _y = , int _id = , int _flag = ) : x(_x), y(_y), id(_id), flag(_flag) {};
    bool operator<(const node &b) const {
        return y < b.y;
    }
}q[maxn*];
struct palace {
    int x, y, val;
    palace(int _x = , int _y = , int _val = ) : x(_x), y(_y), val(_val) {};
    bool operator<(const palace &b) const {
        return y < b.y;
    }
}a[maxn];

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(int x,ll val){
    if (x==) return;
    while (x<maxn){
        c[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll query(int x) {
    ll ret = ;
    while (x) {
        ret += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

void solve() {
    int pos = ;
    for (int i = ; i <= tot; i++) {
        while (pos <= m && a[pos].y <= q[i].y) {
            add(a[pos].x, a[pos].val);
            pos++;
        }
        ans[q[i].id] += query(q[i].x) * q[i].flag;
    }
}

ll sum(ll x) {
    ll ret = ;
    while (x) {
        ret += x % ;
        x /= ;
    }
    return ret;
}

ll get(ll x, ll y, ll n){
    x = x-n/-, y = y-n/-;
    ll t = max(abs(x), abs(y));
    ll ans;
    if(x>=y) ans = n*n-*t*t-*t-x-y;
    else ans = n*n-*t*t+*t+x+y;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
        for (int i = ; i <=  * n; i++) c[i] = ;
        for (int i = ; i <= p; i++) ans[i] = ;
        for (int i = , x, y; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            a[i] = palace(x, y, sum(get(x, y, n)));
        }
       sort(a + , a + m + );

       tot = ;
       for (int i = , x1, x2, y1, y2; i <= p; i++) {
           scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
           q[++tot] = node(x1 - , y1 - , i, );
           q[++tot] = node(x1 - , y2, i, -);
           q[++tot] = node(x2, y1 - , i, -);
           q[++tot] = node(x2, y2, i, );
       }
       sort(q + , q + tot + );
       solve();
       for (int i = ; i <= p; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
    }
    return ;
}

 值得注意的是，一定好好看题！！！宫殿的美丽值是其在螺旋矩阵的对于数字的各位和，就比如25，美丽值应该是2+5=7，而不是25，害得我当时赛后补题一直WA。