二分练习题2 查找大于等于x的最小元素题解

题目描述

现在告诉你一个长度为 \(n\) 的有序数组 \(a_1, a_2, ..., a_n\) ，以及 \(q\) 次询问，每次询问会给你一个数 \(x\) ，对于每次询问，你需要输出数组 \(a\) 中大于等于 \(x\) 的最小元素。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 \(n（1 \le n \le 100000）\) ，用于表示数组中元素的个数。

输入的第二行包含 \(n\) 个整数，两两之间有一个空格，用于表示数组中的元素 \(a_1, a_2, ..., a_n（1 \le a_i \le 10^9，并且 a_1 \le a_2 \le ... \le a_n）\) 。

输入的第三行包含一个整数 \(q（1 \le q \le 100000）\) ，用于表示询问的次数。

接下来 \(q\) 行，每行包含一个整数 \(x（1 \le x \le 10^9）\) ，表示要询问的数。

输出格式

对于每一次询问的 \(x\) ，如果数组 \(a\) 中存在大于等于 \(x\) 的元素，则输出数组 \(a\) 中满足大于等于 \(x\) 条件的所有元素中最小的元素；否则输出“-1” 。每个输出结果占单独的一行。

样例输入

样例输出

题目分析

本题涉及算法：二分。

因为数组是按照单调非递增的顺序给我们的（即满足 \(a_i \le a_{i+1}\) ），所以我们按照如下方式进行二分：

首先我们开一个变量 \(L = 1\) 用于表示初始时自变量（数组坐标）的左边界；在一个变量 \(L = n\) 用于表示初始时自变量（数组坐标）的右边界。

我们还需要开一个变量 \(res\) 用于存储答案（即大于等于 \(x\) 的最大的数），初始时 \(res = -1\) （如果结束的时候 \(res\) 还是 \(-1\) 则说明没有符合要求的答案）。

然后只要满足 \(L \le R\) 条件，我们就循环执行如下操作：

开一个变量 \(mid\) 并令 \(mid = (L+R)/2\) ，然后判断：

如果 \(a[mid] \ge x\) ，说明这个 \(a[mid]\) 是满足 \(\ge x\) 的当前最优解；所以我们需要将 \(res\) 更新为 \(mid\) ，同时执行 \(R = mid-1\) 。因为当前最优解并不一定是最终最优解，\(a[mid] \ge x\) 能够说明的是 \([mid,R]\) 范围内的所有元素都 \(\ge x\) ，但是并不能说明 \([L, mid-1]\) 范围内是否还存在比 \(a[mid]\) 更小的元素同样 \(\ge x\) ，所以我们还是要继续循环的进左半边去查找（所以才需要执行 \(R = mid -1\) 操作）。
如果 \(a[mid] \lt x\) ，说明 \(a[L]\) 到 \(a[mid]\) 范围内的所有元素都 \(\lt x\) ，所以我们只需要执行 \(L = mid +1\) 进右半边继续查找。

这样，当循环结束的时候（不满足 \(L \le R\) 条件则循环就结束了）：

如果 \(R = -1\) ，说明没有找到答案（因为只要找到答案 \(res\) 就会更新，如果到循环结束的时候 \(res\) 还是等于 \(-1\) 则说明一个满足要求的答案都没有找到过）；
否则，\(res\) 对应的就是大于等于 \(x\) 的最小元素的坐标，我们直接输出 \(a[res]\) 即可。

这里需要注意的是：一旦找到了当前最优解，我就更新 \(res\) 为 \(mid\) （令 \(res\) 记录最优解的自变量）；但是其实我们也可以更新 \(res\) 为 \(a[mid]\)（令 \(res\) 记录最优解的应变量）。之所以我更习惯用 \(res\) 记录自变量的原因是：可以直接通过自变量得到应变量，而不能直接通过应变量得到自变量，所以使用 \(res\) 记录自变量会好一些。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 100010;

int n, a[maxn], q, x;

// solve函数用于返回大于等于x的最小元素

int solve(int x) {

    int L = 1, R = n, res = -1;

    while (L <= R) {

        int mid = (L + R) / 2;

        if (a[mid] >= x) {

            res = mid;

            R = mid - 1;

        }

        else L = mid + 1;

    }

    if (res == -1) return -1; // 如果循环结束res==-1，说明没有找到答案

    return a[res];  // 因为res存的是最优解的坐标，所以返回a[res]

}

int main() {

    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];

    cin >> q;

    while (q --) {

        cin >> x;

        cout << solve(x) << endl;

    }

    return 0;

}