2019 Multi-University Training Contest 6

A.Salty Fish

upsolved

题意偷苹果，每个节点上有$a[i]$个苹果，在某些位置有摄像机，看管子树里距离不超过$k[i]$的节点，损坏摄像机有$c[i]$代价，求最大收益。

做法听说这题长链剖分，然后我立马去瞅了题解。

妙哉，长链剖分贪心优化最大流
抛开树形结构，这题是个标准的最小割套路题
最小割=最大流，那么考虑在树上贪心的求最大流
自底向上，对于每个摄像机优先流距离更远的节点，这样把更多的机会留给祖先，深度越低，祖先越容易流到
然后长链剖分套个$map$，维护高度信息
而且$map$居然也有$lower_{-}bound()$,学到了

B.Nonsense Time

solved by F0_0H 208min -2

题意给定一个排列，初始全自闭，然后每个位置依次响应，求每个时刻的$LIS$，数据保证随机

做法

第一弹

先上一个暴力做法
可以想象，最终答案一定为很多段连续的依次递增的相同数字组成
然后开始二分每个交界处的边界
复杂度$O(n*sqrt_N*log_N*log_N)$，稳T

第二弹

整体二分
$solve(l, r, ansl, ansr)$ 表示区间$[l, r]$的答案在$[ansl, ansr]$范围内
然后根据$(l + r) / 2$位置的答案分治处理
终止条件为$l==r$或$ansl == ansr$
可以大胆猜测，这样的复杂度为$O(能过)$，少点常数就能卡过去

E.Snowy Smile

solved by F0_0H 67min -2

题意二维平面n个带权的点，求用一个矩形框住的最大权值和

做法扫描线加线段树动态查询最大子序列和

F. Faraway

solved by sdcgvhgj 230min -1

题意求满足$(|x_i−x|+|y_i−y|)mod\ k_i=t_i$的解的个数
做法

观察到$2≤k≤5，lcm(k_i)≤60$，所以每各60一循环
将平面分成$n^2$块，对每一块枚举$x\%60$和$y\%60$的值，判断是否满足等式，统计个数，复杂度$60^2n^3$
用了1h来debug才过，竟是因为少模了，这种题冷静看一遍代码胜于无脑写对拍呀！

D.Speed Dog

upsolved

题意两个人分配代码长度，要求总和的最大值最小

做法

首先两个人的代码长度一定相同，不然不是最优
考虑对于$a[i] <= b[i]$，先贪心地将$a[i]$全分给$A$, 同理，$b[i] > a[i]$, 将$b[i]$分给$B$
如果$A$和$B$最终不相同，那么需要调整使他们相同
$A < B$，优先使用 $b[i] <= a[i]$ 且 $b[i] / a[i]$ 尽可能大的组
$B < A$，优先使用 $a[i] < b[i]$ 且 $a[i] / b[i]$ 尽可能大的组
因为要动态的进行操作，所以可以在权值线段树上二分，对两种情况分别建树

做法2

注意到最优解一定是两个人耗时相等。
设第 i 道题分配比例为 $x_i$
以 $\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)x_i = \sum_{i=1}^{n}b_i$，$0\leq x_i\leq 1$ 为条件
最小化 $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i$
这是个线性规划问题，最优解一定可以在可行域的顶点处取得。
因此存在最优解非 0，非 1 的元素，最多只有一个【否则不是顶点】
做变量代换 $x_i'=(a_i+b_i)x_i$，约束条件可写成 $\sum_{i=1}^{n}x_i' \leq C=\sum_{i=1}^{n} b_i，其中(0\leq x_i'\leq a_i+b_i)$
目标函数为 $\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{a_i+b_i}x_i'$
让 $\frac{a_i}{a_i+b_i}$ 小的 $i$ 对应的 $x_i'$ 极大。
按 $\frac{a_i}{b_i}$ 的值插入权值线段树，取到 $1$ 的 $x_i$ 一定是标号最小的若干个 $i$，在权值线段树上二分查找即可。

复盘比赛时在这题的后期配合太憨憨了。

H. TDL

solved by rdc 25min -2

题意签到题 2.0

做法枚举 $f(n,m)-f(n)$ 这个东西很小。

解体枚举的元素太多了 TLE 了两发。

J. Ridiculous Netizens

upsolved

题意给一棵树，点有点权，求乘积小于等于 $m$ 连通块的个数。

做法

考虑包含根节点的连通块个数。
对树做 DFS 序，$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个点，乘积为 $j$ 的连通块方案数。
时间空间复杂度都要解体。完蛋了啊。
数论分块！按 $[\frac{m}{x}]$ 的值，对 $x$ 进行分块。可以证明[1]如果 $x,y$ 属于同一块，那么 $cx,cy(cx\leq m)$ 一定属于同一块。
考虑转移，决策一下是否拿 $i+1$ 号点，拿的话，转移到 $i+1$，不拿的话，转移到 $R[i+1]$($R[i+1]$ 表示 $i+1$ 的子树中 DFS 序最大的点)。
不包含根呢？重心分解！

[1] 证明：令 $m=ax+b=ay+d(0\leq b,d<a)$, $[\frac{m}{kx}]=[\frac{m}{ky}]=[\frac{a}{k}]$

CCPC HangZhou 的一道题
Bitset 优化一下转移即可。

K. 11 Dimensions

solved by rdc 142min -2

题意一个十进制数字，有些位置是？，输出字典序第 $k$ 小，是 $m$ 的倍数的数字。

做法

可能复杂度不太对。
预处理每个后缀，有多少种方案能构造出模 m 等于 a 的方案数，DP 即可。
猜测大部分？都是 0. 于是每次二分下一个非 0 的？在什么地方。

L. Stay Real

solved by rdc 30min

题意签到题 1.0，小根堆，两人博弈，轮流摘树叶。

做法注意到这个小根堆，下证双方的最优策略都是取最大元素.

证明（假的）

考虑反证
对于局面 P，先手很任性，偏偏不选最大值，假设这时比选最大值更优。
那后手把最大值吃了。
先手：“我们两个换一下好不好？”
演不下去了，仍然不会证。