【51NOD1806】wangyurzee的树（Prufer编码，容斥原理，组合计数）

题意：有n个点和m条限制，每条限制限制了一个点的度数不能为某个数。

求合法的树的个数模10^9+7

n<=10^6

m<=17

思路：WYZ作业

首先m<=17显然是2^m容斥

枚举每一个限制有用或没用，考虑某一个约束情况下的方案数

Caylay定理：n个点的生成树的个数=n^(n-2)

Prufer序列：一个长度为n-2的Prufer序列对应唯一的一棵n个节点的树，度数为a[i]的点在其中出现了(a[i]-1)次

考虑先在序列中填上所有的受约束条件的点，它们的方案数是C(n-2,a[1]-1)*C(n-2-(a[1]-1),a[2]-1)*……

化简得：

(n-2)!/((a[1]-1)!(a[2]-1)!……*(n-2-sigma(a[i]-1))!)

考虑没有约束的点可以随意在剩下的序列中出现，它们的方案数为：

(n-p)^(n-2-sigma(a[i]-1))

其中p为选中的约束条件个数

将两部分相乘，根据p的奇偶性进行容斥计算即可

几个hack点：

1.对于同一个点可能会有多个约束条件，需要判断某一个点是否被多次限制，如果被多次限制就不能计入答案

2.n=1需要特判ans=1（真的吗，这个点可是坑了我5点头盾）

 const mo=;
 var flag:array[..]of longint;
     fac,exf:array[..]of int64;
     a,b,c:array[..]of longint;
     n,m,i:longint;
     sun:int64;

 function mult(x,y:longint):int64;
 var tmp:int64;
 begin
  tmp:=x; mult:=;
  while y> do
  begin
   if y and = then mult:=mult*tmp mod mo;
   tmp:=tmp*tmp mod mo;
   y:=y>>;
  end;
 end;

 procedure dfs(k:longint);
 var i,j,tot,sum:longint;
     ans:int64;
 begin
  if k=m+ then
  begin
   tot:=; ans:=fac[n-]; sum:=n-;
   for i:= to m do
    if c[i]> then
    begin
     inc(tot);
     inc(flag[a[i]]);
     sum:=sum-(b[i]-);
    end;
   for i:= to m do
    if (c[i]>)and(flag[a[i]]>) then
    begin
     for j:= to m do
      if c[j]> then dec(flag[a[j]]);
     exit;
    end;
   for i:= to m do
    if c[i]> then ans:=ans*exf[b[i]-] mod mo;
   //writeln(sum);
   if sum>= then
   begin
    ans:=ans*exf[sum] mod mo;
    ans:=ans*mult(n-tot,sum) mod mo;
    if tot and = then sun:=(sun+ans) mod mo
     else sun:=(sun-ans) mod mo;
    sun:=(sun+mo) mod mo;
   end;
   for i:= to m do
    if c[i]> then dec(flag[a[i]]);
   exit;
  end;
  if b[k]= then dfs(k+)
   else
   begin
    c[k]:=;
    dfs(k+);
    c[k]:=;
    dfs(k+);
   end;
 end;

 begin
  assign(input,'51nod1806.in'); reset(input);
  assign(output,'51nod1806.out'); rewrite(output);
  readln(n,m);
  if n= then
  begin
   writeln();
   exit;
  end;
  for i:= to m do read(a[i],b[i]);
  exf[]:=; exf[]:=; fac[]:=;
  for i:= to  do fac[i]:=fac[i-]*i mod mo;
  for i:= to  do exf[i]:=exf[mo mod i]*(mo-mo div i) mod mo;
  for i:= to  do exf[i]:=exf[i-]*exf[i] mod mo;
  dfs();
  writeln(sun);
  close(input);
  close(output);
 end.